Question

设数列{an}满足a1=a，a2=b，2a(n+2)=a(n+1)+an

(Ⅰ)设bn=a(n+1)-an，证明：若a≠b，则{bn}是等比数列；
(Ⅱ)若 limn→∞(a1+a2+…+an)=4，求a，b的值．
就是想问第二问

Answer 1

设S1=a1+a2+…+an，S2=a2+…+a(n+1)
S2-S1=a(n+1)-a1=b1+…+bn=2/3*(b-a)*(1-(-1/2)^n)
当n→∞，S2=S1-a,则S2-S1=-a=2/3*(b-a)
因此a+2b=0
由第二行式还可得出a(n+1)=a+2/3*(b-a)*(1-(-1/2)^n)=a/3+2b/3-2/3*(b-a)*(-1/2)^n=-2/3*(b-a)*(-1/2)^n
其中-(-1/2)^n是等比数列，根据其求和公式可得n→∞时S1=a+2/9*(b-a)=4
联立a+2b=0可得a=6,b=-3

Answer 2

(Ⅰ)
∵2a(n+2)=a(n+1)+an，bn=a(n+1)-an，
∴2﹙a(n+2)－a(n+1) ﹚＝﹣﹙a(n+1）－an﹚，即2b(n+1)＝﹣bn。
而b1＝a2－a1＝b－a≠0，故数列﹛bn﹜是首项为b－a，公比为﹣1／2的等比数列，
bn＝﹙b－a﹚×﹙﹣1／2﹚^﹙n-1﹚。
(Ⅱ)显然a≠b，则
Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋b(n-1)
＝﹙a2－a1﹚＋﹙a3－a2﹚＋﹙a4－a3﹚＋…＋﹙an－a(n-1）﹚
＝an－a1
＝﹙b－a﹚×﹙1－﹙﹣1／2﹚^n﹚／﹙1－﹙﹣1／2﹚﹚
＝2／3×﹙b－a﹚×﹙1－﹙﹣1／2﹚^n﹚
则an＝2／3×﹙b－a﹚×﹙1－﹙﹣1／2﹚^n﹚＋a，
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝2／3×﹙b－a﹚×﹙n－﹛﹙﹣1／2﹚[1－﹙﹣1／2﹚^n]／[1－﹙﹣1／2﹚]﹜﹚＋na
＝2／3×﹙b－a﹚×﹛n－[﹙﹣1／2﹚^n －1]／3﹜＋na
limn→∞[﹙﹣1／2﹚^n] ＝0，
Sn≤2／3×﹙b－a﹚× ﹙n＋1／3﹚＋na＝2／9×﹙b－a﹚＋n／3 ×﹙2b﹢a﹚＝4
则2／9×﹙b－a﹚＝4且2b﹢a＝0，解得a＝﹣12，b＝6。

Answer 3

由第一问b1=b-a,q=-1/2
an累加法求得为an=a+2/3*(b-a)[1-(-1/2)^(n-1)]
a1+a2+...+an=(a+2b)*n/3-4/9*(b-a)[1-(-1/2)^n]
前面那项为0,否则无穷大
a=-2b
右面那项无穷大时得到
-4/9*(b-a)=4
a=6.b=-3

Answer 4

(I) 2a(n+2)-2a(n+1)=-a(n+1)+a(n) ;2b(n+1)=-b(n),b(1)=b-a不等于0；所以b(n)是以b-a为首项，以-1/2为公比的等比数列；且b(n)=(b-a)*(-1/2）^（n-1);
(ii) 若a=b,则a(n)=a;则 limn→∞(a1+a2+…+an)=na≠4；所以a≠b
设T(n)为b(n)的前n项和，T(n)=(可以求出，由于式子比较复杂，不好表示出来，自己求出）
T(n-1)=b1+b2+...+b(n-1)=a2-a1+a3-a2+...+an-a(n-1)=an-a1;
所以an=T(n-1)+a1 (n>=2);a1=a;
由 limn→∞(a1+a2+…+an)=4，必有 limn→∞an=0；将an分为含n部分与不含n部分相加（或者相减），含n部分极限显然为0，则an不含n部分的值为(b-a)/(1-(-1/2))+a=0，所以a=-2b；
则a2到an不含n部分的值都为0,即所有不含n部分的和为a1.而含n部分显然为一个首项为(b-a)*(-1/2)/(1-(-1/2)),公比为-1/2的等比数列，其和的极限为2(b-a)/9
limn→∞(a1+a2+…+an)=a1+2(b-a)/9=4，a=-2b；
所以b=-3，a=6;
不知道我的结果有没有错，思路应该就是这样的。主要是通过吧an分为两部分，分别求前N项和！