Question

数学微分方程求通解问题

dy/dx=1/(x^2+y^2+xy)
这类题目该从哪入手
回答详细点，可以用照片上传解答

Answer 1

这道题目形式不复杂，可是过程很繁琐。不知道为什么图片传不上来，只好尽可能详细地说思路了：
第一步：先考虑一阶非齐次方程(把x看作函数,y看作自变量)：　 dx/dy=x^2+xy+y^2
第二步：考虑上面这个方程所对应的齐次方程：
dx/dy=x^2+xy
作变换 u=x/y，将上面的方程化为如下非齐次方程：
　　　du/dy=y(u^2+u)-u/y+y
第三步：考虑上面方程的齐次情形(它是n=2的伯努利方程)
du/dy=y(u^2+u)-u/y
利用变换z=1/u将上面方程化为一阶线性非齐次方程：
dz/dy=z(1/y-y)-y
第四步：利用一阶线性非齐次方程的通解公式得到上面方程的通解：z=z(y,c)；再由z=1/u得到u=u(y,c) ；然后由u=x/y得到原方程所对应齐次方程 dx/dy=x^2+xy的通解x=x(y,c)；最后利用常数变易法得到原方程的通解。