Question

设函数f(x)=lx^2+2x-1l,若a<b<-1,且f(a)=f(b),ab+a+b的取值范围

Answer 1

f(x)=|x^2+2x-1|=|（x+1）^2-2|,
需要画图，这是一个对称轴为 x=-1 抛物线，然后把 x轴下方的图形关于x轴翻折上去，有了图形就很好解决问题了。
设这个图形与x轴交点分别为x1,x2（x1< x2)
那么在x1<x<x2，f(x)有最大值，在x=-1时取得，f(-1)=2
解方程 f(x)=|x^2+2x-1|=2，可以算出x=-3或者1
那么必然有 -3<a<x1<b<-1,
若a<b<-1,且f(a)=f(b),此时a^2+2a-1>0,b^2+2b-1<0
那么有a^2+2a-1=-(b^2+2b-1)
解得：a+b=1-(a^2+b^2)/2
ab+a+b=ad+1-(a^2+b^2)/2=1-(b-a)^2 /2
判断a-b的取值范围，显然 0<b-a<(-1)-(-3) =2
那么 0<(b-a)^2<4
-1<1-(b-a)^2 /2<1
即： -1<ab+a+b<1

希望能够帮到你

追问

不好意思，答案错了

追答

那好，是多少
-3到-1?

追问

是的，请问怎么做，谢谢

追答

三角会吗？
画f（x）图易知-3<a<-1-2^(0.5),-1-2^(0.5)<b<-1,
且a^2+2a-1=-(b^2+2b-1)
所以(a+1)^2+(b+1)^2=4
令a=2sint-1,b=2cost-1
则-3/4π+2kπ<t<-1/2π+2kπ，k为整数
所以ab+a+b=(2sint-1)*(2cost-1)+2sint-1+2cost-1=2sin2t-1
由于-3/2π+4kπ<2t<-π+4kπ
所以-1<sin2t<0
所以-3<ab+a+b<-1

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