Question

两道数学题目

1.P,Q是两个定点，点M为平面内的动点，且MP=λMQ（λ＞0且λ≠1），点M的轨迹围成的平面区域的面积为S，设S=f（λ）（λ＞0且λ≠1）则以下判断正确的是（ ）
A.f(λ)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数
B.f(λ)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是减函数
C.f(λ)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是增函数
D.f(λ)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数

2.二次函数f(x)=ax^2-4x+c的值域为[0,+∞),且f(1)≤4,则u=a/(c^2+4)+c/(a^2+4)的最大值为( )
A.7/4
B.5/2
C.4/5
D.1/2
各位看看题目是否出错了?a=4+2√3,c=4-2√3时是不是得到的最大值是3,是否符合题意?

Answer 1

1、
解：设：M（x，y），为方便设P（-a，0），Q（a，0）
则：|MP|=λ|MQ|⇒|MP|²=λ²[|MQ|²⇒（x+a）²+y²=λ²[（x-a）²+y²]⇒
（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+2a（1+λ²）x=a²（λ²-1）⇒
x²+y²-[2a(λ²＋1)/(λ²－1)]x=－a²⇒其轨迹是个圆．圆的半径是R，则：R²=[2a(λ²＋1)/(λ²－1)]²－a² ⇒题目中f（x）的单调性就是这个的单调性
设：f（λ）=[2(λ²＋1)/(λ²－1)]²=4[1+ 2/(λ²-1)]²
故选A。

2、
f(x)=ax^2-4x+c的值域为[0,+∞),且f(1)≤4
a>0，△=0
16-4ac=0,ac=4,c>0===>a+c>=2√ac=4
f(1)≤4
a-4+c<=4,a+c<=8
u=a/(c^2+4)+c/(a^2+4)-------ac=4
=a/(c^2+ac)+c/(a^2+ac)
=(a^2+c^2)/(ac(a+c))
=((a+c)^2-2ac)/(ac(a+c))---ac=4
=((a+c)^2-8)/(4(a+c))
=(a+c)/4-2/(a+c).
显然，当a+c取得最大值8时，u取得最大值：2-1/4=7/4
故选A。