Question

已知在函数f(x)=ax3+x2-x(1)若a=-1/4,求证：f(x)有且只有2个零点

（2）证当a>0时，函数在（-2/3a,-1/3a）上不存在零点

Answer 1

1.a=-1/4 f(x)=-1/4x^3+x^2-x f'(x)=-3/4x^2+2x-1=-1/4(x-2)(3x-2)，所以(-∞，2/3)递减，(2/3，2)递增，(2，+∞)递减。所以极大值f(2)=-1/4*8+4-2=0，极小值f(2/3)=-1/4*8/27+4/9-2/3=-2/27<0,
所以f(x)有且只有2个零点。
2.f'(x)=3ax^2+2x-1=3a(x+1/(3a))^2-(3a+1)/(3a)
对称轴为x=-1/(3a)，所以所给区间（-2/3a,-1/3a）在对称轴左侧，
最小值为f'(-1/3a)=-(3a+1)/(3a)
因为a>0，所以f'(1/(3a))<0，即在区间（-2/3a,-1/3a）上，f'(x)<0恒成立，所以所给区间为单调减区间。
f(-2/(3a))=(18a+4)/(27a^2)>0，f(-1/(3a))=(3a+4)/(27a^2)>0，所以在这个单调区间上无零点。

Answer 2

就这样。。。