Question

求∫¹₀x(x²-1)⁵dx的定积分

Answer 1

首先，我们可以展开被积函数，得到：
x(x²-1)⁵ = x⁷ - 5x⁵ + 4x³ - x
现在，我们可以逐项积分，得到：
∫ x⁷ dx = x⁸/8 + C₁
∫ -5x⁵ dx = -x⁶ + C₂
∫ 4x³ dx = x⁴ + C₃
∫ -x dx = -x²/2 + C₄
其中，C₁、C₂、C₃、C₄ 是常数项。将这些项相加，得到原定积分的表达式：
∫¹₀ x(x²-1)⁵ dx = (1/8)x⁸ - x⁶ + x⁴/4 - x²/2 + C
其中，C 是常数项。将 x 替换为 1 和 0，然后将两个结果相减，可以得到：
∫¹₀ x(x²-1)⁵ dx = (1/8) - 0 = 1/8
因此，原定积分的值为 1/8。

Answer 2

∫0->1) x(x^2-1)^5 dx
=(1/2)∫0->1) (x^2-1)^5 d(x^2-5)
=(1/12)[(x^2-1)^6]|(0->1)
=-1/12