Question

向量a=(-2,2)b=(1,m),若a+b与a垂直,则a与b夹角的余弦值是角？

Answer 1

如果向量a+b与a垂直，则向量a和向量b构成一个直角三角形，而a+b则为三角形的斜边。则根据勾股定理，斜边的平方等于另外两条直角边平方和。因此，我们可以列出以下等式：

|a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2

根据向量的模或长度公式，这个等式可以被扩展为：

|( -2.2 + 1 ), m|^2 = ( -2.2 )^2 + 1^2 + m^2

因此，

(2.2)^2 + (1 - m)^2 = (-2.2 + 1)^2 + m^2

解这个方程，得到：

4.84 + 1 - 2m +m^2 = 1.44 + m^2

化简和撤销项，得到：

3.4 = 2m

因此，

m = 1.7

接下来，我们需要计算a和b之间的夹角余弦。根据向量点乘公式，a和b之间的夹角余弦是：

cosθ=(a·b)/(|a||b|)

其中，a⋅b=-2.2×1+1×1.7=-2.2+1.7=-0.5

|a| = √[(-2.2)^2 + 1^2] = √[4.84 + 1] ≈ 2.227

|b| = √[1^2 + 1.7^2] = √[1 + 2.89] ≈ 1.995

将这些值代入公式得：

cosθ = (-0.5) / (2.227 × 1.995) ≈ -0.112

因此，a和b之间的夹角余弦是-0.112。如果需要夹角的角度值，可以使用反余弦函数来计算，例如acos(-0.112)≈1.683弧度。