Question

若n为正整数，试猜想:1的三次方+2的三次方.。。。+n的三次方等于多少?并用此式比较1的三次方+2的三次方+…

一百的三次方与（-5000）²的大小

Answer 1

解1：
2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1
3^4-2^4=4×2^3+6×2^2+4×2+1
4^4-3^4=4×3^3+6×3^2+4×3+1
......
(n+1)^4-n^4=4×n^3+6×n^2+4×n+1
以上各式相加有：
(n+1)^4-1^4=4×(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6×(1^2+2^2+...+n^2)+4×(1+2+3+...+n)+n
4×(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6×[n(n+1)(2n+1)/6]+4×[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]^2
因此：1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

解2：依据上面求出的公式，有：
1^3+2^3+……+100^3=[100(100+1)/2]^2=5050^2
显然5050^2＞(-5000)^2
即：1^3+2^3+……+100^3＞(-5000)^2