Question

已知数列{an}满足:a1=2,an+1=2an/1+an,求an

Answer 1

对an+1=2an/1+an，两边求倒数
1/an+1=1/2an+1/2 整理 (1/an+1)-1=0.5(1/an - 1)
数列 ｛1/an -1｝等比数列 q=0.5
1/an -1=-(0.5)^n
an=1/(-0.5^n+1)

追问

还有一道。- -。
已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1=1,3Sn=(n+2)an，求an。

追答

3Sn=(n+2)an
3Sn-1=(n+1)an-1
两式相减整理得 3an=nan-nan-1+2an-an-1
an/an-1=(n+1)/(n-1)
所以累乘 an=an/an-1乘以an-1/an-2乘以an-2/an-3乘以……乘以 a3/a2乘以a2/a1乘以a1
代入各项得：an=(n+1)/(n-1)乘以(n)/(n-2)乘以(n-1)/(n-3)乘以……5/3乘以4/2乘以3/1乘以1
=(n+1)n/2

Answer 2

因为a（n+1）=2an/(an+1),
所以1/a(n+1)=(an+1)/(2an)=1/2+1/(2an)，
即
1/a(n+1)-1=1/2*(1/an-1)。而1/a1 - 1=-1/2，故数列{1/an - 1}是首项为-1/2，公比为1/2的等比数列，
1/an - 1=-1/2^n，
从而an=2^n/(2^n - 1)。