Question

设椭圆x²/a²+y²/b²＝1(a＞b＞0)的离心率e=1/2,右焦点F(c,0),方程ax²+bx-c=0的两

设椭圆x²/a²+y²/b²＝1(a＞b＞0)的离心率e=1/2,右焦点F(c,0),方程ax²+bx-c=0的两个实根分别为x₁、x₂，请证明P(x₁,x₂)必在圆x²+y²=2内。
（要过程）

Answer 1

解析：
由题意可得：a=2c，b=√3*c，其中c>0
则方程ax²+bx-c=0可写为：
2cx²+√3*cx-c=0
即2x²+√3*x-1=0
已知方程的两个实根分别是：x₁、x₂
则由韦达定理可得：
x₁+x₂=-(√3)/2，x₁*x₂=-1/2
所以：x₁²+x₂²
=(x₁+x₂)²-2x₁*x₂
=3/4 +1
=7/4<2
即有√(x₁²+x₂²) <√2
这相当于点P(x₁,x₂)到原点(0,0)的距离小于√2
而圆x²+y²=2的圆心在原点，半径为√2
所以点P必在圆x²+y²=2内.

Answer 2

1213213