Question

111.若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a| 的最小值为3,则实数a的值为-|||-A.5或？

Answer 1

经验告诉我们：
当一1≤x≤一a／2（a≤2），
或当一a／2≤x≤1（a＞2）时，
f（x）取得最小值。
∴f（一a／2）＝3，即
｜一a／2＋1｜＝3，
丨一a＋2｜＝6，
a一2＝一6，或a一2＝6，
a＝一4，或a＝8。

Answer 2

f(x)=|x+1|+|x+a/2|+|x+a/2|，
当 x=-a/2 时，所求值最小，
为 f(-a/2)=|1-a/2|=3，
所以 a=-4 或 8 。

Answer 3

首先，我们可以考虑函数 f(x) 的图像。因为 f(x) 中有绝对值符号，所以需要分段讨论。当 x ≤ -1 时，f(x) 可以简化为 f(x) = -x - 2a - 2；当 -1 < x ≤ -a/2 时，f(x) 可以简化为 f(x) = -x - a - 1；当 -a/2 < x ≤ -1/2 时，f(x) 可以简化为 f(x) = x + a + 1；当 x > -1/2 时，f(x) 可以简化为 f(x) = x + 2a + 1。
因为 f(x) 的最小值为 3，所以至少存在一个 x 使得 f(x) = 3。假设此时有 x = x0，则有以下四种情况：
1. 当 x0 ≤ -1 时，f(x0) = -x0 - 2a - 2 = 3，解得 a = -x0/2 - 5/2。
2. 当 -1 < x0 ≤ -a/2 时，f(x0) = -x0 - a - 1 = 3，解得 a = -x0 - 4。
3. 当 -a/2 < x0 ≤ -1/2 时，f(x0) = x0 + a + 1 = 3，解得 a = 2 - x0。
4. 当 x0 > -1/2 时，f(x0) = x0 + 2a + 1 = 3，解得 a = (3 - x0)/2。
综合四种情况，我们可以得到 a 的取值范围为 -|||-A.5 或 6。其中，-|||-A.5 表示绝对值以后再加负号，即 -((-a)^0.5)。因此，答案为 -|||-A.5 或 6。