Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=2倍根号5.对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转

如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=2倍根号5.对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于BC,AD于点E,F。
（1）证明：当旋转角90°时，四边形ABEF是平行四边形，
（2）试证明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等，
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺势旋转的度数。

Answer 1

A、当旋转角为90°时，有EF⊥AC，而BA⊥AC，∴AB∥EF，又∵AF∥BE，所以四边形ABEF一定为平行四边形，
B、∵AF∥BE，∴∠FAO=∠OCE，∵AO=CA，∠AOF=∠COE，∴△AEO≌△CEO，∴AF=EC，
C、当旋转角为45°时，∵AB⊥AC，AB=1，BC= ，∴AC= =2，∵OA=OC= AC=1，∴△BAO是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∵∠AOE=45°∴∠AOE=90°∴EF⊥BD，∵△AEO≌△CEO，∴OF=OE，，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形知，∴四边形BEDF一定为菱形 本题利用了：1、勾股定理，2、平行四边形的性质，3、全等三角形的判定和性质，4、等腰直角三角形的性质，5、菱形的判定．

Answer 2

(1）AF=EC；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，∠ECO=∠FAO；
又∵∠AOF=∠EOC，
∴△AOF≌△EOC，故AF=EC．
（2）四边形BEDF可能是菱形．
理由：∵△AOF≌△COE，
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴只要有EF⊥BD，就能使平行四边形BEDF是菱形．
∵AB⊥AC，AB=1，BC= 5，
∴AC=2，
又∵OA=OC，
∴AO=1，
∵AB⊥AC，AB=1，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∴AC绕O顺时针旋转的度数为45°．

Answer 3

1 旋转90度 EF垂直于AC AB垂直于AC AB//EF 且由题意AE//BF 所以四边形ABEF为平行四边行

2. 旋转过程中设E F 为任意点,
由题意AF//CE
内错角EFA=FEC CAF=ACE AO=CO
可证明三角形AOF全等于 三角形COE
由此证明 OF=OE AF=EC

3 由勾股定理AC的平方=BC的平方-AB的平方
5-1=4
AC=2
AO=1/2 AC=1
AB=AO
又因为角BAC=90度 角BOA=45度
要使的四边形BEDF为菱形
有BO=OD OF=OE(已证)
只需要EF垂直于BD
即角FOB=90度
所以角FOA=角FOB-角BOA=90-45=45度
所以AC应顺时针旋转45度