Question

椭圆x²/36+y²/9=1的一条弦被A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程为什么。。。谢了

Answer 1

设直线方程为Y=KX+B，由于过点（4,2），所以将点的坐标代入，有2=4K+B，即B=2-4K。
这样，直线方程变为Y=KX+(2-4K)。
椭圆的弦在上述直线上，该直线与椭圆应该有两个交点，联立直线方程和椭圆方程求交点。
即将直线方程的Y=KX+(2-4K)代入椭圆方程X2+4Y2-36=0，有：
Y2=(KX+(2-4K))2=K2X2+(2-4K)2+2(2-4K)KX
4Y2=4(KX+(2-4K))2=4K2X2+4(2-4K)2+8(2-4K)KX
X2+4Y2-36= X2+4(KX+(2-4K))2=4K2X2+4(2-4K)2+8(2-4K)KX-36=0
得到：(1+4K2)X2+8(2-4K)KX+4(2-4K)2-36=0
从中可以解出两个交点的X坐标X1和X2，由于该两交点连线的中点为已知，其X坐标为4，
故：4=( X1+X2)/2=(-8(2-4K)K)/(2(1+4K2))=( -4(2-4K)K)/( 1+4K2)= ( -4(2K-4K2))/( 1+4K2)
即：1=-(2K-4K2)/( 1+4K2)，1+4K2=4K2-2K，1=-2K，K=-1/2
将K值代回直线方程，得到：Y=-X/2+(2+4/2)= -X/2+4
答案：所求的直线方程是：Y=-X/2+4

Answer 2

设为y-2=k(x-4)
y=kx+(2-4k)
代入椭圆x²+4y²=36
(4k²+1)x²+8k(2-4k)x+(2-4k)²-36=0
x1+x2=-8k(2-4k)/(4k²+1)
中点横坐标=(x1+x2)/2=4
-4k(2-4k)/(4k²+1)=4
-2k=1
k=-1/2
所以x+2y-8=0