Question

导数的有关求参数范围题型

设函数f（x）＝X^4＋aX^3＋2X^2+b（X，a，b属于R）
1.若对于任意的a属于〔-2.2〕，不等式f（x）<=1在〔-1.1〕上恒成立，求b的取值范围。
这种是什么题型啊，解题思路是什么。认真回答的，必定加分。

Answer 1

这个是最典型的参数类问题了

首先不管三七二十一看到3次方以上-1次方以下和ln啊e^x啊之类的时候就求导，求得
f'（x）=4x³+3ax²+4x

对于任意的a∈[-2,2]，不等式f（x）≤1在[-1,1]上恒成立，也就是说f（x）在[-1,1]的最大值小于等于1，这就转化成常见的最值问题，于是分析f（x）单调性
令f'（x）=0，得到x（4x²+3ax+4）=0……①，

这个方程含有一个关于a的二次因式，且不能因式分解，也不能直接求解，考虑从△入手，看看其判别式的情况，再决定是否进行讨论
由条件a∈［-2,2］可知Δ=9a²-64＜0,
故①只有一个解x=0

这说明无需分类讨论，现在考虑单调性
当x＜0时,f′(x)＜0;当x＞0时,f′(x)＞0.
即f（x）在[-1,0]上单调递减，[0,1]上单调递增
因此函数f(x)在［-1,1］上的最大值是f(1)与f(-1)两者中的较大者.

千万不要在这个时候讨论谁比较大，因为两个都要小于等于1，直接以此为条件列式子即可，毕竟我们要的只不过是b的值。
为使对任意的a∈［-2,2］,不等式f(x)≤1在［-1,1］上恒成立,当且仅当即在a∈［-2,2］上恒成立.
则f（1）≤1，f（-1）≤1
即b≤-2-a且b≤-2+a，考虑a∈[-2,2]
∴b≤-4,因此满足条件的b的取值范围是(-∞,-4］.

这就是我们要的解答了