Question

一道初中数学几何题！

已知，如图△ABC内切于圆O，AB=AC，圆O2与BC相切于点B，与AB相交于点E，与圆O1相交于点D，直线AD交圆O2于点F，交CB延长线于点G
求证：（1）角G=角AFE（2）AB·EB=DE·AG

Answer 1

证明：（1）∵AB=AC

∴ ∠ACG=∠ABC

又 ABCD四点共圆

∠ADC=∠ABC=∠ACG

∠G=∠G

∴ △ADC∽△ACG

∴ ∠ACD=∠G

由ABCD四点共圆

∴ ∠ACD=∠ABD

由BEDF四点共圆

∴ ∠ABD=∠DFE

∴ ∠DFE =∠ACD=∠G

（2）由 ABCD四点共圆

∴∠ACG=∠FDB  (外角=内对角)

由BEDF四点共圆

∴∠FDB =∠FEB   ∠EDB=∠EFB

已证 ∠DFE =∠G

∴ FE//GB， 又圆O2与BC相切于点B

易证  ∠FEB =∠EFB  (弧BE=BF)

∠ACG=∠EFB=∠EDB

∴  △ACG∽△EDB

∴  CA/AG=DE/EB

即  CA•EB=DE•AG

已知 AB=AC

∴  AB•EB=DE•AG

Answer 2

(1) 因为∠FEB=∠FDB=∠ACB=∠ABC, 所以EF//GC, 从而∠G=∠AFE
(2) 由∠G=∠AFE=∠DBE 及∠BDE=∠ABC=∠ACB 知 △AGC∽△EBD
得到 AG/BE=AC/DE, 而AB=AC, 所以AB·EB=DE·AG