数学初三二次函数问题
问:在该抛物线的对称轴上是否存在一点 Q,使得三角形 QAC 的 周长 最小,若存在,求Q的坐标,若不存在,说明理由
该抛物线上的第二象限内是否存在一点P,使三角形PBC面积最大?,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由
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对称轴X=-1
作出图形,由于B点即为A关于对称轴的对称点
周长最小的Q点即为BC与对称轴的交点:
BC的截距式:x/(-3)+y/3=1,
当x=-1, y=2, 因此Q(-1,2)
面积最大的点:
因为BC固定,因此其上的高最大时PBC最大。
将BC平移至与曲线相切时,切点即为P
y'=-2x-2
BC的斜率为1
因此-2x-2=1, 得x=-1.5, y=3.75
因此P(-1.5,3.7.5)
“与曲线相切时”什么意思
啊,切线的概念没学过?
2024-10-28 广告
抛物线与y轴交于C(0,3)
对称轴是x=-1,
由于A和B关于x=-1对称,连结BC交对称轴于Q,所以AQ=BQ
此时周长L最小,L=QA+QC+AC=BC+AC(定值)
直线BC方程是y=x+3,所以Q(-1,2)
2.设存在P(x,y),那么
点P到直线BC:y=x+3的距离是
d=|x-y+3|/√2.....................①
且满足y=-x²-2x+3.............②
②代入①得到d=|x²+3x|/√2
∵x²+3x=(x+3/2)²-9/4在第二象限的取值范围是-9/4≤x²+3x<0
∴d≤|-9/4|/√2=9√2/8
此时x=-3/2,y=15/4
即P(-3/2,15/4)满足题意
你第二题说得好深奥,可以说说简单一点的方法吗
我觉得这个还好吧, 你只要知道“点到直线的距离公式”就行了——
点(m,n)到直线ax+by+c=0的距离是
d=|am+bn+c|/√(a²+b²)
这个知道了就算出来了啊 还有疑问吗
本题中的两问都是二次函数中常见的问题,难易适中,解答如下:
【1】考查知识点: 轴对称图形的性质和线段的性质.
分析:点A为(1,0),点C为(0,3)故AC的长度是不变的,故只要能使AQ+CQ最小即可!
解:抛物线y= -x²-2x+3的对称轴为直线x=-1.
点A关于对称轴X=1的对称点为点B,连接BC交对称轴于Q,则点Q就是要求的点.
设直线BC为y=kx+b,图象过点C(0,3),B(-3,0),则:
3=b;
0=-3k+b=-3k+3,k=1.即直线BC为:y=x+3.
把X=-1代入y=x+3,得:y=-1+3=2.故点Q为(-1, 2).
【2】考查知识点:二次函数的最值及图形的面积公式.
解:设抛物线y=-x²-2x+3第二象限内图象上有点P(m,-m²-2m+3),则m<0,-m²-2m+3>0.
连接PB,作PM垂直Y轴于H,则OH=-m²-2m+3;CH=OH-OC=-m²-2m;PH=|m|=-m.
∵S⊿PBC=S梯形PBOH-S⊿PHC-S⊿BOC.
即S⊿PBC=(PH+BO)*OH/2-PH*CH/2-BO*OC/2
=(-m+3)*(-m²-2m+3)/2-(-m)*(-m²-2m)/2-3*3/2
=(-3/2)m²-(9/2)m
=(-3/2)(m+3/2)²+27/8.
∴当m=-3/2时,-m²-2m+3=-9/4+3+3=15/4.
即当点P为(-3/2, 15/4)时,⊿PBC的面积最大,最大值为27/8.
作出图来,点C的坐标为(0,3)。
要使三角形QAC的周长最小,因为AC已确定(A,C两点已确定),所以只需使AQ+CQ最小。
取点A关于抛物线对称轴(直线x=-1)的对称点{即为点B(-3,0)},连结BC,交直线x=-1于一点,即为点Q,此时AQ=BQ,而BQ+CQ=BC最短,所以此时AQ+CQ最小。
这时求直线BC的解析式,为y=x+3,令x=-1,求出Q点坐标为(-1,2)。
(2)存在。
因为三角形的面积等于其水平宽和铅垂高的乘积的一半,所以可得三角形PBC的水平宽为3,其铅垂高即等于点P到x轴的垂线段的长度与这条垂线段与直线BC的交点(设为点R)到x轴的距离的差。设点P的横坐标为x,将其代入抛物线y=-x^2-2x+3和直线y=x+1,得到三角形PBC中BC边上的铅垂高的长度(设为h)为(-x^2-2x+3)-(x+1),即-x^2-3x+2。
求二次函数h=-x^2-3x+2的顶点坐标,为(-1.5,4.25),所以当x=-1.5时,h取得最小值,为4.25。
即存在这样一点P,点P的坐标为(-1.5,4.25)。
我不知道什么是水平宽和铅垂高,是不是底和高?我们没教过三角形面积等于水平宽乘以铅垂高的一半啊,可以用底乘高的一半的公式给我讲解吗,谢谢了,求求你
作出图来,点C的坐标为(0,3)。
要使三角形QAC的周长最小,因为AC已确定(A,C两点已确定),所以只需使AQ+CQ最小。
取点A关于抛物线对称轴(直线x=-1)的对称点{即为点B(-3,0)},连结BC,交直线x=-1于一点,即为点Q,此时AQ=BQ,而BQ+CQ=BC最短,所以此时AQ+CQ最小。
这时求直线BC的解析式,为y=x+3,令x=-1,求出Q点坐标为(-1,2)。
(2)存在。
因为三角形的面积等于其水平宽和铅垂高的乘积的一半,所以可得三角形PBC的水平宽为3,其铅垂高即等于点P到x轴的垂线段的长度与这条垂线段与直线BC的交点(设为点R)到x轴的距离的差。设点P的横坐标为x,将其代入抛物线y=-x^2-2x+3和直线y=x+1,得到三角形PBC中BC边上的铅垂高的长度(设为h)为(-x^2-2x+3)-(x+1),即-x^2-3x+2。
求二次函数h=-x^2-3x+2的顶点坐标,为(-1.5,4.25),所以当x=-1.5时,h取得最小值,为4.25。
即存在这样一点P,点P的坐标为(-1.5,4.25)。
所用的知识点是:过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法:S△ABC= ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
此时三角形QAC最小。
用相似有关性质求出点Q
(2)
用点到直线距离公式来做