Question

已知双曲线C：x²／4—y²=1，P为双曲线C上的任意一点。

已知双曲线C：x²／4—y²=1，P为双曲线C上的任意一点。求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数。过程最好详细一点儿，因为我还是一个初学者。谢谢您

Answer 1

双曲线C：x²／4—y²=1，将1换成0
得渐近线方程：l1: x-2y=0, l2:x+2y=0
设P(x,y)在双曲线C上，
则x²／4—y²=1, x^2-4y^2=4
P到l1距离d1=|x-2y|/√5
P到l2距离d2=|x+2y|/√5
d1*d2=|x-2y|/√5*|x+2y|/√5
=|x^2-4y^2|/5=4/5
即点P到双曲线C的两条渐近线的距离
的乘积是一个常数4/5

追问

还有一题：已知数列｛an}的前n项和为Sn且an是Sn与2的等差中项，数列｛bn}中，b1=1,点P（bn,bn+1)在直线x-y+2=0上。
（1）求a1和a2的值
（2）求数列｛an｝{bn}的通项an和bn
（3）设cn=an·bn,求数列（cn）的前n项和Tn
谢谢

追答

1
2an=Sn+2 (1)
2a1=s1+2=a1+2==>a1=2
2a2=S2+2=a1+a2+2=2+a2+2==>a2=4
2.
2a(n+1)=S(n+1)+2 (2)
(2)-(1):
2a(n+1)-2an=a(n+1)
a(n+1)/an=2
{an}等比公比为2
an=2^n
b(n+1)-bn=2
{bn}等差，公差为2
bn=2n-1

3.
得用错位相减法
Tn=1×2+3×4+5×8+....+（2n-1)×2^n
2Tn=1×4+3×8+....+(2n-3)×2^n+(2n-1)×2^(n+1)
-Tn=2+2[4+8+.....+2^n)-(2n-1)×2^(n+1)
=2+8[2^(n-1)-1]-(2n-1)×2^(n+1)
=-6-(2n+1)×2^(n+1)
Tn=6+(2n-3)×2^(n+1)

Answer 2

渐近线方程为：y=±x/2,±x/2-y=0,
设P（x0,y0),
根据点线距离公式，
P至二渐近线距离d1=|x0/2-y0|/√（1/4+1）=2|x0/2-y0|/√5,
d1=|-x0/2-y0|/√（1/4+1）=2|x0/2+y0|/√5,
d1*d2=4/5|(x0^2/4-y0^2|,(1)
而P是双曲线上一点，
满足双曲线方程，x0^2/4-y0^2=1,
代入（1）式得，
∴d1*d2=4/5,故点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数。

追问

还有一题：已知数列｛an}的前n项和为Sn且an是Sn与2的等差中项，数列｛bn}中，b1=1,点P（bn,bn+1)在直线x-y+2=0上。
（1）求a1和a2的值
（2）求数列｛an｝{bn}的通项an和bn
（3）设cn=an·bn,求数列（cn）的前n项和Tn
谢谢

Answer 3

设点P为(x0,y0) 在双曲线中，a=2,b=1,渐近线方程为2x-y=0 ,2x+y=0,
点P到两直线的距离为[x0-2y0]/√5和 x0+2y0]/√5
两数相乘得[ x0²—4y0²]/5=4/5