Question

数学 已知实数a,b,c满足a+b+c=1,a²+b²+c²=3,则abc的最大值是几

Answer 1

因a+b+c=1
两边平方，整理可得
a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)=1
结合a²+b²+c²=3可得
ab+bc+ca=-1
∴-1=ab+c(a+b)
=ab+c(1-c)
∴ab=c²-c-1
又a+b=1-c
∴由韦达定理可知
a,b是关于x的方程x²+(c-1)x+(c²-c-1)=0的两根。
∴⊿=（c-1)²-4(c²-c-1)≥0
整理可得3c²-2c-5≤0
解得: -1≤c≤5/3
ab=c²-c-1
abc=c³-c²-c
构造函数f(x)=x³-x²-x -1≤x≤5/3
求导,f'(x)=3x²-2x-1=(x-1)(3x+1)
∴f(x)max=max{f(-1/3), f(5/3)}=5/27
∴(abc)max=5/27