Question

请问---题目在下面

已知函数f（x）=1+x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+x^2001/2001,则函数f（x）在其定义域内的零点个数是多少个？求详细解答、、、谢了！！！

Answer 1

已知函数f（x）=1+x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+x^2001/2001
则该函数的导函数为f‘（x）=1-x+x²-x³+...+x^2000
=1-x（1-x）（1+x²+...+x^1998）
=1+x（x-1）（1+x²+...+x^1998）
所以当x>0时，f’（x）>0恒成立，原函数单调递增，
①当x>=1时，f’（x）>0恒成立，原函数单调递增，
②当x<1时，原函数f（x）=1+x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+x^2001/2001
=1+（x-x²/2）+（x³/3-x^4/4）+...+x^2001/2001
>0 恒成立，
所以当x>0时无零点，
当x<=0时，f’（x）>0恒成立，原函数单调递增，
x趋近于负无穷时，f（x）<0，又f（1）=1，
所以f（x）应该在（-∞，0）上有一个零点，
综上，f（x）在定义域内有且仅有一个零点，

其实楼上的解法更好，只需做一些修改，如下给出，
f'(x)=0+1-x+x^2-x^3+...+x^2000
=[1-(-x)^2001] / [1-(-x)]
=(1+x^2001) / (1+x)
当x＜-1时，上式＞0；当x＞-1时，上式＞0
x=-1时，f‘（-1）=1+1+1+1+...+1>0，
所以f’（x）>0恒成立，
所以原函数在实数范围内为增函数，
且f(x=-1)=1-1-1/2-1/3-1/4-……-1/2001＜0
f(x=0)=1＞0
所以原函数的零点个数是1个。

Answer 2

f'(x)=0+1-x+x^2-x^3+...+x^2000
=[1-(-x)^2001] / [1-(-x)]
=(1+x^2001) / (1+x)
当x＜-1时，上式＞0；当x＞-1时，上式＞0
所以原函数在实数范围内为增，
且f(x=-1)=1-1-1/2-1/3-1/4-……-1/2001＜0
f(x=0)=1＞0
所以原函数的零点个数是1个。

Answer 3

f'(x)=0+1-x+x^2-x^3+...+x^2000
=[1-(-x)^2001] / [1-(-x)]
=(1+x^2001) / (1+x)
当x＜-1时，上式＞0；当x＞-1时，上式＞0
x=-1时，f‘（-1）=1+1+1+1+...+1>0，
所以f’（x）>0恒成立，
所以原函数在实数范围内为增函数，
且f(x=-1)=1-1-1/2-1/3-1/4-……-1/2001＜0
f(x=0)=1＞0
所以原函数的零点个数是1个