问一道大一线性代数题
证明平面上三条不同的直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,cx+ay+b=0相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0衷心感谢每位回答者!...
证明平面上三条不同的直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,cx+ay+b=0 相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0
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过直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,交点的直线束为:ax+by+c+λ(bx+cy+a)=0
(a+λb)x+(b+λc)y+(c+λa)=0
必要性:
当cx+ay+b=0 相交于该点时:存在λ*使得 a+λ*b=c;b+λ*c=a;c+λ*a=b
三式相加得:λ*(a+b+c)=0
由于三条直线不同,所以λ*≠0, 故:a+b+c=0
充分性:若 a+b+c=0 则可得:c=-(a+b)
将其代人a+λ*b=c得:λ*=-2a/b-1
再将λ*=-2a/b-1代人b+λ*c得:b+λ*c=a
代人c+λ*a得:c+λ*a=b
∴cx+ay+b=0 相交于该点。
即:三条不同的直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,cx+ay+b=0 相交于一点
(a+λb)x+(b+λc)y+(c+λa)=0
必要性:
当cx+ay+b=0 相交于该点时:存在λ*使得 a+λ*b=c;b+λ*c=a;c+λ*a=b
三式相加得:λ*(a+b+c)=0
由于三条直线不同,所以λ*≠0, 故:a+b+c=0
充分性:若 a+b+c=0 则可得:c=-(a+b)
将其代人a+λ*b=c得:λ*=-2a/b-1
再将λ*=-2a/b-1代人b+λ*c得:b+λ*c=a
代人c+λ*a得:c+λ*a=b
∴cx+ay+b=0 相交于该点。
即:三条不同的直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,cx+ay+b=0 相交于一点
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过直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,交点的直线束为:ax+by+c+λ(bx+cy+a)=0
(a+λb)x+(b+λc)y+(c+λa)=0
必要性:
当cx+ay+b=0 相交于该点时:存在λ*使得 a+λ*b=c;b+λ*c=a;c+λ*a=b
三式相加得:λ*(a+b+c)=0
由于三条直线不同,所以λ*≠0, 故:a+b+c=0
充分性:若 a+b+c=0 则可得:c=-(a+b)
将其代人a+λ*b=c得:λ*=-2a/b-1
再将λ*=-2a/b-1代人b+λ*c得:b+λ*c=a
代人c+λ*a得:c+λ*a=b
∴cx+ay+b=0 相交于该点。
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(a+λb)x+(b+λc)y+(c+λa)=0
必要性:
当cx+ay+b=0 相交于该点时:存在λ*使得 a+λ*b=c;b+λ*c=a;c+λ*a=b
三式相加得:λ*(a+b+c)=0
由于三条直线不同,所以λ*≠0, 故:a+b+c=0
充分性:若 a+b+c=0 则可得:c=-(a+b)
将其代人a+λ*b=c得:λ*=-2a/b-1
再将λ*=-2a/b-1代人b+λ*c得:b+λ*c=a
代人c+λ*a得:c+λ*a=b
∴cx+ay+b=0 相交于该点。
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三个直线连列,得到一个非齐次方程组,交于一点充分必要条件应该是这个方程组有唯一解,这等价于方程组系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩都等于2,这样试试看吧。
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2012-01-29
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额。。。我用高中的知识作出来了。。。额。。。
追问
可以说说你的方法么……
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