Question

能说任何两个有理数之间都有无理数吗？为什么？

能说任何两个有理数之间都有无理数吗？为什么？

Answer 1

确实是这样的,数轴上,任何两个有理数间,都有无理数的存在。假设有两个有理数x1,x2,x1 < x2。

有理数集与整数集的一个重要区别是，有理数集是稠密的，而整数集是密集的。将有理数依大小顺序排定后，任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数，这就是稠密性。整数集没有这一特性，两个相邻的整数之间就没有其他的整数了。

有理数集是整数集的扩张。在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻。

有理数a,b的大小顺序的规定：如果a-b是正有理数，则称当a大于b或b小于a，记作a>b或b<a。任何两个不相等的有理数都可以比较大小。

有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。 

Answer 2

确实是这样的，数轴上，任何两个有理数间，都有无理数的存在。
假设有两个有理数x1，x2，x1 ＜ x2
随便取一个无理数，比如π，再取一个正有理数M，不断放大M，
总能找到M，使得π/M＜（x2 - x1）
这样，x1 + π/M，就是你要找的两个有理数之间的无理数，之一。

Answer 3

不能，这个问题是数学缺陷的表现之一。证明成立的方式有很多，但是无法通过0.9999……=1的悖论。所以高等数学又提出了一个极限的概念来打补丁。但是客观上，0.99……和1确实是两个不同的有理数，并且二者之间确实不会再有其他的无理数。
所以，真实世界中任何两个有理数之间都有无理数是不成立的，在基于极限概念允许一定误差的前提下，可以认为是成立的。