Question

高一数学最后一题，帮帮我吧，要过程，谢啦，必修二的题，拜托了

Answer 1

解：
（1）求m的取值范围。

方程 x² + y² + x - 6y + m = 0 可化为：

x² + x + 1/4 + y² - 6y + 9 + m = 1/4 + 9

即：(x + 1/2)² + (y - 3)² = 9 - m + 1/4

∵该方程表示一个圆
∴半径的平方应大于零
即：9 - m + 1/4 ＞ 0

∴ m ＜ 37/4

（2）若OP ⊥ OQ，求圆C方程，就是让求此时m的值。

本题中圆方程可化简为：
[x+(1/2)]² + (y-3)² =(37-4m)/4

大凡求直线与圆的交点问题，一般需联立直线方程与圆方程得到方程组：
x² + y² + x - 6y + m = 0
x + 2y - 3 = 0

把 x = - (2y - 3)代入圆方程，得：

(2y-3)² - (2y-3) + y² - 6y + m = 0

∴ 4y² - 12y + 9 - 2y + 3 + y² - 6y + m = 0
∴ 5y² - 20y + (m+12) = 0

由“根与系数的关系”知：
y1 + y2 = 4， y1y2 = (m+12)/5

∴ x1x2
= (-2y1 + 3)(-2y2 + 3)
= 4y1y2 - 6(y1 + y2) + 9
= 4(m + 12)/5 -15

∵ OP⊥OQ
∴ 直线OP与直线OQ的斜率之积为(-1)
∴ Kop × Koq = - 1
∴ (y1/x1) × (y2/x2) = - 1
∴ y1y2 + x1x2 = 0

∴(m+12)/5 + [ 4(m+12)/5 -15 ] = 0
∴ m + 12 - 15 = 0
∴ m = 3

∴ 圆C方程为 x² + y² + x - 6y + 3 = 0

（3）过（-2，4）作直线与圆C交于M、N两点，若|MN| = 4,求直线MN的方程。

把圆C方程x² + y² + x - 6y + 3 = 0 化为
(x + 1/2)² + (y - 3)² = 25/4
易看出其圆心为（-1/2，3），半径为 5/2

∵ 弦MN满足 |MN| = 4
∴ 弦长MN的一半为2
圆心(-1/2，3)到弦的距离d = √[(5/2)² -2²] = 3/2 (根据勾股定理、垂径定理)

设过点（-2, 4）的直线斜率为k
则该直线为：y = k(x+2) + 4
进一步化简为：kx - y + 2k + 4 = 0

圆心(-1/2，3)到该直线的距离为
d = |k×(-1/2) - 1×3 + (2k+4)|/√(k²+1²) = 3/2

∴ |3k+2|/√(k²+1) = 3

∴ (3k + 2)² = 9(k²+1)

∴ 9k² + 12k + 4 = 9k² + 9

∴ 12k = 5

∴ k = 5/12

∴直线MN的方程为y = (5/12)(x + 2) + 4
即为：y = (5/12)x + 29/6