Question

抛物线y²=2px（p＞0）的动弦AB长为a（a≥2p），求弦AB的中点M到y轴的最短距离。

要求详细解题过程~最好有思路分析~谢啦~
（答的好有加分哦~）

Answer 1

抛物线y²=2px（p＞0）的动弦AB长为a（a≥2p），求弦AB的中点M到y轴的最短距离。
【解】
设中点M的坐标为(x,y) ，A为(x+u,y+v),B为(x-u,y-v),
弦AB的中点M到y轴的距离就是M的横坐标x.
于是
(y+v)^2=2p(x+u),①
(y-v)^2=2p(x-u),②
(2u)^2+(2v)^2=a^2,③
①-②得:yv=pu,
u= yv/p,代入③可得：4 y^2v^2/p^2+4v^2=a^2,
所以v^2= (a^2 p^2)/( 4 y^2+ 4p^2),④

①+②得:y^2+v^2=2px,
将④代入上式可得：
y^2+(a^2 p^2)/( 4 y^2+ 4p^2) =2px,
所以x= y^2/(2p)+ (a^2 p^2)/[2p( 4 y^2+ 4p^2)]
= y^2/(2p)+ (p a^2 /8)/ ( y^2+ p^2)
= ( y^2+ p^2) /(2p)- p^2 /(2p) + (p a^2 /8)/ ( y^2+ p^2)
= ( y^2+ p^2) /(2p) + (p a^2 /8)/ ( y^2+ p^2)-p/2……利用基本不等式可得下式
≥2√[( y^2+ p^2) /(2p) * (p a^2 /8)/ ( y^2+ p^2)] -p/2
=2*(a/4) -p/2
=a/2-p/2
当且仅当( y^2+ p^2) /(2p) = (p a^2 /8)/ ( y^2+ p^2)时，取到最小值。
此时y^2=pa/2-p^2,
因为a≥2p，所以pa/2-p^2≥0，所以y^2=pa/2-p^2有解，最小值a/2-p/2能够取到。

Answer 2

因为通径长为2p
a≥2p
当2p≥a时
易证AB垂直x轴时距离最小
现假设AB过焦点F，弦AB的中点M到y轴的最短距离即弦AB的中点M到准线的最短距离-p/2=
(Xa+Xb+p)/2-p/2=(a-p)/2
假设AB不过焦点F 则连结AF,BF AF+BF>AB 即M到准线距离小于(Xa+Xb+p)/2-p/2=(a-p)/2
故当且仅当直线AB过抛物线焦点时，有最短距离(a-p)/2
顺便说一下，这是一道竞赛老题，老师讲的时候用解析法做的，貌似没做到底。这是我自己画图时想到的方法，很直观，应该没有错。这是一道十数年不衰的经典好题，有时候数形结合很好用

Answer 3

平行线之间距离最短，故直线AB平行与y轴时，弦AB的中点M到y轴的最短距离
所以AB点纵坐标 y=±a/2
那么x=y^2/2p=a^2/8p
即弦AB的中点M到y轴的最短距离为a^2/8p