Question

如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,∠PDA=45°E,F分别为AB,PD的中点，

求证 1 AF⊥平面PCD 2 平面PCE⊥平面PCD

Answer 1

1,在Rt三角形PAD中，∠PDA=45°，所以PA=AD，即AF⊥PD。
因为PA⊥底面ABCD，而CD在底面ABCD内，所以PA⊥CD。
又AD⊥CD，且PA交AD=A，所以CD⊥平面PAD。因为AF在平面PAD内，所以AF⊥CD。
又因为PD交CD=D，所以AF⊥平面PCD。
2,取PC的中点G，连结EG、FG。
在三角形PCD中，FG//CD且FG=CD/2(中位线)，所以FG//AE且FG=AE。
即AEGF是平行四边形，即EG//AF。
由(1)知，AF⊥平面PCD，所以EG⊥平面PCD。
因为EG在平面PCE内，所以平面PCE⊥平面PCD。

Answer 2

因为 PA垂直AD（PA垂直ABCD），∠PDA=45°
所以 PA=AD，即AF垂直PD
所以 AF垂直PCD

取PC中点，设为G，连接FG、EG
因为 FG为△PCD的中位线
所以 FG=½CD且FG∥CD
又因为 AE=½AB且AE∥CD
所以 AE∥FG且AE=FG
所以 AFGE为平行四边形
所以 AF∥EG
因为 AF垂直PCD
所以 EG垂直PCD
所以 PCE垂直PCD