Question

正五边形能密铺吗

Answer 1

正五边形不能密铺。

因为正五边形的每个内角都是108度，而360°不是108的整数倍，在每个拼接点处的内角不能保证没空隙或重叠现象。

正五边形无法完全密铺平面，这个问题可以追溯到公元700年左右的阿拉伯数学家。其实质来自于五分之一角度的无理性。

1.什么是正五边形？

正五边形是指五条边长度相等、五个角度相等的多边形。它有许多特殊的性质，例如：内角和等于540度；对角线数量为5；对角线长和边长之比等于黄金分割比例等。

2.什么是密铺？

密铺，即面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重鲁地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。

常见的密铺包括三角形、正方形和六边形。其实质是使用一种平面几何图形，使得它们不重叠、不留空地铺满整个平面。

3.为什么正五边形无法完全密铺平面？

无法完全密铺平面是因为正五边形有一个无理角度，即五分之一圆周角度（72度）。这意味着我们无法用整数的角度去精确重复正五边形来填充整个平面，使得任何相邻角都不重合或否则排斥其他图形。换句话说，我们无法通过旋转或堆叠正五边形来完全填充平面。

附加知识

对于许多种类的平面几何图形，可以通过密铺的方式使用它们来覆盖平面。例如，三角形和正方形可以使用不同的堆叠方式来完全覆盖平面。在20世纪时，填充问题被证明为七个基本几何形状之一的著名问题。除了正五边形，其他六个都已经被证明可密铺平面。