Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC,AB＝BC,且AE⊥BC.求证；AD＝AE

Answer 1

证明: 作BF⊥DC的延长线于F
∵ ABCD是直角梯形,AB//CD,AD⊥DC
∴ ABFD是矩形,
∴ AD=BF,
∠BCF=∠ABE
又 ∵∠AEB=∠BFC=90°,
∠ABE=∠BCF, AB=BC
∴ △AEB≌△BFC （角角边）
∴ AE=BF=AD

Answer 2

证明：过B作BF⊥CD，垂足为F
因为AE⊥BC
所以∠AEB=∠BFC=90
因为AB∥CD
所以∠ABE=∠C
又因为AB=BC
所以△ABE≌△BCF(AAS)
所以AE=BF
因为AB∥CD，AE⊥BC，AD⊥DC
所以四边形ADFB是矩形
所以AD=BF
所以AD=AE

Answer 3

（1）证明：连接AC，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴∠ACD=∠ACB，
∵AD⊥DC，AE⊥BC，
∴∠D=∠AEC=90°，
∴ ∠D=∠AEC∠DCA=∠ACBAC=AC
∴△ADC≌△AEC，（AAS）
∴AD=AE；
（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，
设AB=x，则BE=x-4，AE=8，
在Rt△ABE中∠AEB=90°，
由勾股定理得：82+（x-4）2=x2，
解得：x=10，
∴AB＝10