Question

求解答这道高中数学题，和导数有关的应用题

某出版社新出版一本教科书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m元(1<=m<=3)的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为x元/本(9<=x<=11),预计一年的销售量为(20-x)^2万元。
当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润L最大,并求出L的最大值R(m)
我已经做出来一部分了:
L=(x-5-m)(20-x)^2 x∈[9,11]
L的导数符合求导得出L'( x)=(x-20)(3x-30-2m)
当L'=0时，x1=20（舍去）x2=10+2m/3
然后作出大体图像，用数形结合做。。。可是我有点分不清了，不过可以确定是分段函数
要详细过程

Answer 1

解：利润f(x)=x(20-x)²-5(20-x)²-m(20-x)²，求导：
f'(x)=(20-x)²+2x(20-x)(-1)-10(20-x)(-1)-2m(20-x)(-1)
=(20-x)(30+2m-3x)
=(x-20)(3x-30-2m)
极值点：x1=20，x2=(30+2m)/3
因为，1≤m≤3，所以：10<32/3≤(30+2m)/3≤12，那么x2在x1的左边，那么：
在区间（-∞，(30+2m)/3]，[20，+∞）上f‘(x)>0，所以f(x)是增函数；
在区间[(30+2m)/3,20]上，f'(x)<0，所以f(x)是减函数
又因为x∈[9,11]，f(x)max=f((30+2m)/3)
L(m)=f(x)max=f((30+2m)/3)
=[(30-2m)/3]²[(15-m)/3]
L’(m)=2[(30-2m)/3][(15-m)/3](-2/3)+[(30-2m)/3]²(-1/3)=0
m1=m2=15,即L'(m)≤0，那么L是关于m的单调不增函数
所以L的最大值，R(m)=R(1)= 10976/27

自己再算算

追问

我大概有了新思路，你看看对不对啊
我做出了L的大体图像，在(30+2m)/3上有极大值，需要考虑(30+2m)/3》11的情况和(30+2m)/3<11的情况。当(30+2m)/3》11时，最大值为x=11时，这时解出3/2《m《3；当(30+2m)/3<11时，最大值为极值点(30+2m)/3的值，这时1《m<3/2。所以这道题应该考虑这两种时候，所以我觉着R(m)没有具体的最大值，R(m)应该用分段函数写出

追答

差不多就是如此了。
首先利润：L(x，m)，此时m是参数，x是决策变量，通过求导得到一个关于m的极值点，记为
x(m)=(30+2m)/3
其次，通过导数的判断，可以断定L(x,m)关于x是先增，后减，再增，所以极大值点就是
x(m)=(30+2m)/3，同时考虑到x的取值范围为[9,11]，而32/3≤(30+2m)/3≤12
这里确定最大值的时候，我的解答是有问题的，这里要分类讨论：
（1）当11≤(30+2m)/3，L的最大值，就在x=11处取得，3/2≤m≤3
（2）如果极值点落在了区间[9,11）中9≤(30+2m)/3<11，1≤m<3/2，那么此时L的最大值，就在
x(m)=(30+2m)/3处取得；
再次，在（2）的情况下，定义R(m)，是一个分段函数，
R(m)=L(11，m)，3/2≤m≤3
R(m)=L(x(m),m)，1≤m<3/2
这个分段函数都是关于m的表达式，在不同m的取值情况下，在比较R(m)的最大值情况。

Answer 2

额 你都做出来x2了 把x2当做x带到L里去就可以了啊
不过m的区间还得缩小
求的不就是L关于m的函数么。。

Answer 3

我可以提供给你这道题的正确解答的完整步骤，但这里上传不上去，可以给我其他的方式吗？我发给你

追问

我的邮箱为stshhl888@163.com给我发过来看看吧，谢了

Answer 4

10000*(x-m+5)*(20-x)^2

追问

具体过程那，写出来吧，可以追加分