Question

已知等比数列{an},Sn是其前n项的和,且a1+a3=5,S4=15， 1求数列{an}的通项公式。 2设bn=5/2+log2an,tn=?

3.比较（2）中Tn与（1/2）n^3+2（n=1,2,3…）的大小，并说明理由。

Answer 1

S4=a1+a2+a3+a4=a1+a3+q(a1+a3)=15
5+5q=15
q=2
a1+a3=5
a1+aq^2=5
a1+4a1=5
a1=1
an=a1q^n-1
=2^n-1

b1=5/2
b2=5/2+1
bn=（5/2）+log2(an),
=5/2+2^n-1

Tn=5/2+5/2+0+1+.....+5/2+2^n-1
=5/2*n+0+1+2+.....+2^n-1
=5n/2+(1-2^n)/(1-2)
=5n/2+2^n-1

Tn>6
即5n/2+2^n-1>6
5n+2^n>12
当n=1时，5+2=7<12，所以n=1舍去
当n=2时，25+4=29>12，所以最小自然数n的值为2

追问

第二题的log2(an),an=2^n-1

那log2(an)=n-1吧……

追答

是的
bn=（5/2）+log2(an),
bn=5/2+n-1
bn=n+3/2
{bn}是一个以5/2为首项，公差为1的等差数列
Tn=n(b1+bn)/2=n(5/2+n+3/2)/2=n(n+4)/2
Tn=n(n+4)/2

由于（1/2）n^3+2-Tn=(n^3-n^2-4n+4)/2=(n-1)(n-2)(n+2)/2
当n=1、2的时候(n-1)(n-2)(n+2)/2=0
即Tn=（1/2）n^3+2
当n≥3的时候 (n-1)(n-2)(n+2)/2>0
即Tn<（1/2）n^3+2