Question

三角形ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC平分线BP交于点P,若角BPC=40,求角CAP的度

作角BCA平分线,交BP与E
则AE平分角BAC, ECP=90
过ECP作圆, PE则为直径, 必过A
角CAP=角CEP=50.
为什么必过A

Answer 1

角CAP=90-角BPC=90-40=50度
因为角CAP=角CEP，所以A,E,C,P四点共圆，所以必过点A

追问

为什么角CAP=90-角BPC=90-40=50度
且用过A证角而不是用角证过A

Answer 2

解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=（x-40）°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PA，PM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA，
∴∠FAP=∠PAC=50°．
故答案为：50°
（详见图片）