Question

如图,抛物线y=ax²+bx+c经过A(-1,哦),B(3,0),C(0,3)三点，对称轴与抛物线相交

如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)B(3,0)C(0,3)三点,对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB。
1.求该抛物线的解析式
2.抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由。
3.在第一象限，对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标。
第三问怎么做，请写出解答思路。（网上的答案我看不懂，因此就不必复制那答案了）

Answer 1

1.解：
将A，B，C三点，分别代入抛物线方程，得：
0=a-b+c
0=9a+3b+c
3=c
所以得出：a=-1,b=2,c=3
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3

2.解：存在，Q有3个坐标
设Q到直线MB的距离为m，P到直线MB的距离为n
∵S△QMB=(1/2)×|MB|×m，S△PMB=(1/2)×|MB|×n
∴欲使S△QMB=S△PMB，只要求使得m=n的Q点即可
直线BC的方程为：x/3+y/3=1，即y=-x+3
∵P点为对称轴与抛物线的交点，∴P坐标为(1,4)
M点为对称轴与BC的交点，∴M坐标为(1,3)
∵直线PC的斜率k1=(4-3)/(1-0)=1，直线MB的斜率为-1，则PC⊥MB，则|PC|=n
作P关于C的对称点P'，则P'的坐标为(2×0-1,2×3-4)，即(-1,2)，且P'C⊥MB，且|P'C|=|PC|=n
作直线L：平行于BC且通过P，即斜率为-1，且通过P的直线：y=-x+5
作直线L'：平行于BC且通过P'，即斜率为-1，且通过P'的直线：y=-x+1
∵L//BC，∴L上任意一点到直线MB的距离相等，且等于|PC|，即n
又∵L'//BC，∴L'上任意一点到直线MB的距离相等，且等于|P'C|，即n
∴L和L'上任意一点与M、B所形成三角形面积均与△PMB面积相等
联立L与抛物线方程，得(1,4),(2,3)
联立L'与抛物线方程，得((3+√17)/2,(-1-√17)/2),((3-√17)/2,(-1+√17)/2)
所以Q点有3个坐标，分别为(2,3)，((3+√17)/2,(-1-√17)/2)，((3-√17)/2,(-1+√17)/2)

3.解：存在
R坐标为(1+√2，2)

Answer 2

我自己做的第三问过程如图，你看看有木有什么问题……好久不做高中数学了>_<