Question

如下这个x的函数的积分怎么计算？ 1./(x^a+1)。 这里，a是实参数。积分上下限为c，d.

如下这个x的函数的积分怎么计算？
1./(x^a+1)。
这里，a是实参数。积分上下限为c，d.

Answer 1

要计算函数 f(x) = 1/(x^a+1) 在给定上下限 c 和 d 的积分，我们可以使用换元法进行求解。
设 u = x^a+1，那么 du = a * x^(a-1) dx。根据这个关系，我们可以将积分变换为关于 u 的积分：
∫[c, d] 1/(x^a+1) dx = ∫[u(c), u(d)] 1/u * (1/a) du
其中，u(c) 和 u(d) 分别表示 c 和 d 对应的 u 值。
现在，我们可以对上述积分进行求解：
∫[u(c), u(d)] 1/u * (1/a) du = (1/a) ∫[u(c), u(d)] 1/u du
这是一个基本的自然对数函数的积分形式。因此，最终的结果为：
(1/a) * ln|u| |[u(c), u(d)]
将 u = x^a+1 代回，得到：
(1/a) * ln|x^a+1| |[c, d]
即最终的积分结果为：
(1/a) * ln|x^a+1| |[c, d]
请注意，在计算最终结果时，需要确保 a ≠ 0，以避免出现除以零的情况。