Question

已知三角形ABC中的三内角A、B、C成等差数列,且1/cosA+1/cosB=根号2/cosB, 求cos(A-C)/2的值

Answer 1

三内角A、B、C成等差数列，所以B=60度，设差值为X (因为B-X+B+B+X=180, 3B=180,B=60)
A=60-X， B=60，C=60+X
所以（A-C）/2=（60-X-60-X）/2= -X
1/cosA+1/cosB=根号2/cosB
直接将B=60度代入
1/cosA+1/1/2=根号(2/1/2) ----> 1/cosA=0
你给的式子有问题吧，1/cosA=0，这不可能啊。

Answer 2

解：∵A B C依次成等差数列
∴2B=A+C
∴3B=180°
∴B=60°
∴A+C=120°

1/cosA +1/cosC=-√2/cosB
∴(cosA+cosC)/cosAcosC=√2cos(A+C)带入A+C=120°
∴(cosC+cosA)/cosCcosA=-2√2
∴2cos[(A+C)/2][cos(A-C)/2]=-√2[cos(A+C)+cos(A-C)]带入A+C=120°
∴cos[(A-C)/2]=-√2[cos(A+C)+cos(A-C)]
化简cos(A-C)=2(cos[(A-C)/2])^2-1带入上式
化简全式
∴2(cos[(A-C)/2])^2 +cos[(A-C)/2] -(3√2)/2=0

把此方程看作是关于cos[(A-C)/2]的一元二次方程,可得到两个根。
cos[(A-C)/2]=(-3√2)/4
cos[(A-C)/2]=√2/2
由于A.C是锐角,(A-C)/2也是锐角,以是cos[(A-C)/2]>0
以是舍去第一个根，
以是，cos[(A-C)/2]=√2/2
不懂可以追问

追问

这一版本答案我早看过了，我认为答案有问题啊

追答

那里有？

追问

∴2(cos[(A-C)/2])^2 +cos[(A-C)/2] -(3√2)/2=0的两个解不对劲啊

追答

嗯，两解是1\2和(-3√2)/4）

追问

说错了，是式子与我算的不同，能在上面再详细些吗

追答

你的题目a=b=c
1\cosa+1\cosb=根号2\cosb
b=60
2cosa(根号2-1)=1
cosa=1\2
cos(a-c))\2=1