Question

5.已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4. （1）求a,b,c中最大者的最小值 （2）求|a|+|b|+|c|的最小值

5.已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4.
（1）求a,b,c中最大者的最小值
（2）求|a|+|b|+|c|的最小值

初二水平...

Answer 1

假设a为最大者，则a>0，那么有
b+c=2-a，bc=4/a
所以b,c为一元二次方程x^2+(a-2)x+4/a=0的两个实根，
判别式(a-2)^2-16/a≥0
但是，当0<a<4时，判别式小于0，a≥4时才适合，所以，最大者的最小值为4。
由以上可知，b,c<0，|b|+|c|=-(b+c)=a-2
|a|+b|+|c|=2a-2≥6
所求和的最小值为6

追问

为什么是
x^2+(a-2)x+4/a=0

追答

利用根与系数的关系构造方程

Answer 2

不妨设a ≥ b ≥ c
(1)也就是要求a的最小值
由abc = 4可知a, b, c均不为0
由a + b + c = 2可知a > 0
则b + c = 2 - a
bc = 4 / a
∴b, c是方程x² - (2 - a)x + 4/a = 0的两个实根
满足△ = (2 - a)² - 16 / a ≥ 0
即(a³ - 4a² + 4a - 16) / a ≥ 0
即(a - 4)(a² + 4) / a ≥ 0
∵a > 0, a² + 4 > 0
∴a ≥ 4
∴a的最小值为4，当a取最小值时b = -1, c = -1

(2)∵a ≥ 4
∴b + c = 2 - a ≤ -2 < 0
又abc > 0, a > 0
∴bc > 0
∴b < 0, c < 0
∴|a| + |b| + |c| = a - b - c = a - (b + c) = a - (2 - a) = 2a - 2 ≥ 6
∴|a| + |b| + |c| 的最小值为6，取最小值时a = 4, b = -1, c = -1