Question

一道隐函数求导法的高数题

设F(y+z,xy+yz)=0，其中F具有二阶连续偏导数，求a^2z/ ax^2

Answer 1

由题目的要求可知F(y+z,xy+yz)=0所确定的函数是z=z(x,y).
一、先求一阶偏导数：为方便表示，设u=y+z, v=xy+yz，对F(y+z,xy+yz)=0两边关于x求偏导得：
(∂F/ ∂u)*(∂z/∂x)+(∂F/ ∂v)*(y+y*∂z/ ∂x)=0，
整理得一阶偏导数：
∂z/ ∂x=-(∂F/ ∂v)*y/[(∂F/ ∂u+y*(∂F/ ∂v))]；
二、再求二阶偏导：
对(∂F/ ∂u)*(∂z/ ∂x)+(∂F/ ∂v)*(y+y*∂z/ ∂x)=0两边关于x求偏导得：
(∂F/ ∂u)*(∂^2z/ ∂x^2)+(∂^2F/ ∂u^2)*(∂z/ ∂x)^2+2*(∂^2F/ ∂u∂v)*(∂z/ ∂x)*(y+y*∂z/ ∂x)+(∂^2F/ ∂v^2)*(y+y*∂z/ ∂x)^2+(∂F/ ∂v)*(y*∂^2z/ ∂x^2)=0,
整理可得：
∂^2z/ ∂x^2=-[(∂^2F/ ∂u^2)*(∂z/ ∂x)^2+2*(∂^2F/ ∂u∂v)*(∂z/ ∂x)*(y+y*(∂z/ ∂x))+(∂^2F/ ∂v^2)*(y+y*(∂z/ ∂x))^2] / [(∂F/ ∂u+y*(∂F/ ∂v))],
然后将∂z/ ∂x=-(∂F/ ∂v)*y/[(∂F/ ∂u+y*(∂F/ ∂v))]带入上式就得到所要的结果了.