Question

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线 y=14x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点......

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线 y=1/4x^2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）.对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．
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Answer 1

如果F是交点，那么这条直线应该是抛物线的准线，但此题的F不是焦点，所以作如下证明
证：如果MN平行X轴，那么MN=4，以MN为直径的圆的水平方向的切线：y=-1或y=3
如果MN转过一个角度，比如转到45度，那么此时的MN=8 中点（圆心）位于（2,3），切线仍为Y=-1
当K为任意值时：MN：y=kx+1 y=0.25x^2 x^2-4kx-4=0 MN^2=(x1-x2)^2+(Y1-Y2)^2
=(1+K^2)(X1-X2)^2=(1+k^2)(16k^2+16) MN=4(k^2+1) 以MN为直径的圆 R=2k^2+2
MN 中点 x中=（x1+x2）/2=4k/2=2k y中=kX中+1=2k^2+1
此时该圆的水平切线方程为：y=y中-R=-1
所以存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切，切线方程为 y=-1

Answer 2

证：如果MN平行X轴，那么MN=4，以MN为直径的圆的水平方向的切线：y=-1或y=3
如果MN转过一个角度，比如转到45度，那么此时的MN=8 中点（圆心）位于（2,3），切线仍为Y=-1
当K为任意值时：MN：y=kx+1 y=0.25x^2 x^2-4kx-4=0 MN^2=(x1-x2)^2+(Y1-Y2)^2
=(1+K^2)(X1-X2)^2=(1+k^2)(16k^2+16) MN=4(k^2+1) 以MN为直径的圆 R=2k^2+2
MN 中点 x中=（x1+x2）/2=4k/2=2k y中=kX中+1=2k^2+1
此时该圆的水平切线方程为：y=y中-R=-1
所以存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切，切线方程为 y=-1

Answer 3

过M作MH⊥NN1于H，MN2=MH2+NH2=（x1-x2）2+（y1-y2 ）2=（x1-x2）2+［（kx1+1）-(kx2+1)］2=（x1-x2）2+k2（x1-x2）2=(k2+1)（x1-x2）2=(k2+1)(4 ）2=16（k2+1)2
∴MN=4(k2+1)
分别取MN和M1N1的中点P，P1，
PP1= （MM1+NN1）= (y1+1+y2+1)= （y1+y2）+1= k(x1+x1)+2=2k2+2=2(k2+1) ∴PP1= MN
即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半.
∴以MN为直径的圆与l相切.

Answer 4

第4问可以用相似来反证，本人研究了半个小时。（纯属独创）来吧：x1^+x2^+8=x1^+x2^+8是永远成立的因为x1乘以x2=-4 所以8=-x1乘以x2 在等式左边分子分母同时乘以四分之一 那么就是 四分之4倍的x1^+四倍的x2^+16+16=（x1+x2）^对吧 16又等于x1^乘以x2^ 那么就可以转化为 四分之（2x1^+4)乘以（2x2^+4）==（x1+x2）^对吧 又因为y1=四分之x1^+1 y2=四分之x2^+1 那么可以换为（y1+1）^除以2分之（x1+x2）^==2分之（x1+x2）^除以（y2+1）^ 对吧！！那么两个三角形相似 角MQN恒等于90度 那么他就必切y=-1这条直线 对吧！！！ （智商高的好似会看懂的）呵呵！！！打字好累呀 本人QQ824676104 求数学高手交朋友

Answer 5

上面的用反正做出来的确实很好，呵呵