Question

求幂级数∑[(x-1）∧2n]/n的收敛区间和和函数

Answer 1

　　解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)n/(n+1)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。
　　而lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=lim(n→∞)[(x-1)^2]/R<1，∴丨x-1丨<√R=1，即0<x<2。当x=0或x=2时，均为p=1的p-级数，发散。
　　∴级数收敛区间为x∈(0,2)。
　　设y=(x-1)^2，则丨y丨<1。∴S=∑[(x-1)^(2n)]/n=∑(y^n)/n，
　　两边对y求导，则在收敛区间内，有S'=∑y^(n-1)=1/(1-y)，∴S=C-ln(1-y)。而y=0时，S=0，∴S=-ln(1-y)=-ln[1-(x-1)^2]。
　　供参考。