Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED垂直平面B1BD

用空间向量。

Answer 1

取B1D的中点O，连结AC交BD于点G，连结EO、OG。
在正方体中，因为E为CC1的中点，所以B1E=DE，即EO垂直B1D。
在三角形BB1D中，OG//BB1且OG=BB1/2(中位线)。
而CE//BB1且CE=BB1/2，所以OG//CE且OG=CE，即CEOG是平行四边形，即EO//CG。
在正方形ABCD中，AC垂直BD，所以EO垂直BD。
因为B1D交BD=D，所以EO垂直平面BB1D。
因为EO在平面B1ED内，所以平面B1ED垂直平面B1BD。

Answer 2

先看题解给出的图片，首先要添加必要的辅助线具体，证明过程如下：

证明：

连结AC交BD于点F，取B1D的中点F1，连结EF1、FF1。

又∵E为CC1的中点，∴B1E=DE，∴EF1⊥B1D（等腰三角形底边上的高）。

在△BB1D中，FF1//BB1，由中位线性质，∴FF1= BB1，

而CE//BB1且CE= BB1，∴FF1//CE且FF1=CE，

∴四边形CEFF1是平行四边形，∴EF1//CF。

又∵CF⊥BD(正方形两对角线垂直AC⊥BD，而CF是AC的一部分)，

∴EF1⊥BD。

由于B1D交BD于D点，所以EF1⊥平面BB1D。

∵EF1在平面B1ED内，∴平面B1ED⊥平面B1BD。

追问

用空间向量可以解出来吗？谢谢。

追答

不是很熟，抱歉。