Question

已知抛物线方程为y^2=2px，（P>0）的焦点为F，A,B是抛物线上两个动点，(AB与抛物线不垂直)，

已知抛物线方程为y^2=2px，（P>0）的焦点为F，A,B是抛物线上两个动点，(AB与抛物线不垂直)，线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6,0），且丨AF丨+丨BF丨=8，求该抛物线的标准方程

Answer 1

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，设AB的中点M(x0,y0)，因为AB与抛物线对称轴不垂直，所以 x1≠x2.
用点差法。
代点：
y1²=2px1 (1)
y2²=2px2 (2)
（2）-（1），得
(y2-y1)(y2+y1)=2p(x1-x2)，
从而 AB的斜率
k1=(y2-y1)/(x2-x1)=2p/(y1+y2)=p/y0 （3）
另一方面，准线为x=-p/2，由丨AF丨+丨BF丨=8 及抛物线的定义知
x1+p/2+x2+p/2=8，即
2x0+p=8 (4)
而AB垂直平分线的斜率为 k2=y0/(x0-6)
由 k1k2=-1，得 (p/y0)(y0/(x0-6)=-1，得x0=6-p，代入 (4)
得 12-2p +p=8，p=4
抛物线的标准方程为y²=8x