Question

在三角形ABC中，D为BC边的中点.向量AM=m向量AB,向量AN=n向量AC，MN与AD交于点P点，向量AP=x向量AP.

在三角形ABC中，D为BC边的中点.向量AM=m向量AB,向量AN=n向量AC，MN与AD交于点P点，向量AP=x向量AP.
(1)当m=1，n=0.5时，求x的值；
（2）当m,n属于（0，1）时，试用m,n表示x

Answer 1

条件：向量AP=x向量AP，应为AP=x向量AD
(1)当m=1，n=0.5时，AM=AB，N是AC的中点，从而P为三角形ABC的重心，
AP=(2/3)AD，即 x=2/3
(2)AB=(1/m)AM，AC=(1/n)AN，AD=(1/x)AP
又AB+AC=2AD，所以
(1/m)AM+(1/n)AN=(2/x)AP
AP=[x/(2m)]AM+[x/(2n)]AN，
因为M、N、P在一条直线上，所以 x/(2m)+x/(2n)=1，
即 x=2mn/(m+n)