Question

哈哈，一道高一数学问答题，要详细过程，就像考试一样。。。

15

Answer 1

第15题 解：
（1）
当k = 0时，直线y = kx + b即为直线y = b(0＜b＜2)，
它表示平行于x轴的直线、且与y轴交点的纵坐标在0到2之间。

至于“求S的最大值”，介绍三个解法：

解法一：
联立方程组：y = b 与 x² + y² = 4
易解得：x² = 4 - b²
∴ x = ±√(4 - b²)
∴ A、B两点的横坐标分别为 -√(4 - b²) 和 √(4 - b²)
∴ |AB| = 2 × √(4 - b²)

在△AOB中，底边AB长为2√(4 - b²)，底边AB上的高为b，
∴ △AOB的面积 S = (1/2)×|AB|×b = b×√(4 - b²)
∴ S² = b² × (4 - b²)

我们知道：a² + b² ≥ 2ab，两边同加(2ab)，得：
(a + b)² ≥ 4ab
∴ ab ≤ (a + b)²/4(当且仅当a=b时取到等号)

∴ b² × (4 - b²) ≤ [b² + (4 - b²)]²/4 = 4²/4 = 4
即：S² 的最大值为 4 。

∴ S的最大值为 2 。

解法二：
AB ⊥ y轴，设AB与y轴交于点C，
在Rt△ABC中，
OA = 2，OC = b，
∴ AC = √(2² - b²) = √(4 - b²)，
∴ |AB| = 2 × √(4 - b²)
下接解法一。

解法三：
在△AOB中，过点B作BD⊥OA于D，
在Rt△BOD中，BD = OB × sin∠BOD = 2sin∠BOD

∴△AOB的面积 S = (1/2)×OA×BD = (1/2)×2×2sin∠BOA = 2sin∠BOA

显然，当sin∠BOA = 1 时，S有最大值2，此时∠BOA = 90°

∴ S的最大值为 2 。

高二学过“解三角形”之后便知
三角形的面积S = (1/2)absinC = (1/2)bcsinA = (1/2)acsinB
这可直接适用于本题，S = (1/2)×OA×OB×sin∠BOA

（2）这类型题目，注意斜率的多解。
当b=2时，
直线y = kx + 2 与 圆x² + y² = 4 都经过点(0, 2)，设该点为A，
设直线y = kx + 2 与 圆x² + y² = 4 的另一交点为点B，
则：由第一问的解法三知：
S = (1/2)×OA×OB×sin∠BOA = (1/2)×2×2sin∠BOA = 2sin∠BOA
而已知 S = 1

∴ 2sin∠BOA = 1
∴ sin∠BOA = 1/2
∴ ∠BOA = 30°或 150°

当∠BOA = 150°时，
过点B作BE⊥y轴于E，
则 ∠BOE = 30°
∴ BE = (1/2)×OB = 1(30°所对的直角边等于斜边的一半)
∴ 点B的横坐标为1 或 -1。
把点B的横坐标代入圆x² + y² = 4，
求得点B的纵坐标为 -√3 （√3 舍去）
∴ 点B的坐标为(1，-√3) 或 (-1，-√3)

把点B的坐标分别代入直线y = kx + 2，
易求得k = (2 +√3) 或 k = -(2 +√3)

当∠BOA = 30°时，
同理可求得：k = (2 -√3) 或 k = -(2 -√3)

综上，满足题意的k值有四个，分别为：
(2 +√3) 或 k = -(2 +√3) 或 (2 -√3) 或 k = -(2 -√3)

Answer 2

解：设A(x1,y1) , B(x2,y2)

(1).由题，将y=b，代入圆的方程得x1=√(4-b^2)，x2= - √(4-b^2)

∴|AB|=|x1-x2|=2√(4-b^2)

∴S=|AB|*|b|/2=b√(4-b^2) <= 2 当且仅当b=√2时等号成立。

故S的最大值为Smax=2
(2).将y=kx+2，代入圆的方程并整理得：(1+k^2)x^2+4kx=0 *******(a)

当1+k^2=0时，A(±2,0), B(0,2),显然S≠1.

当1+k^2≠0，即k≠±1时，由方程(a)得x2=0,x1= - 4k/(1+k^2)

于是|AB|=√(1+k^2)*|x1-x2|=4*√(1+k^2)*|k|/(1+k^2)

又AB到O的距离为d=|2|/√(1+k^2)

∴S=|AB|*d/2=4|k|/(1+k^2)=1

于是得到方程k^2-4k+1=0 (k>0)，k^2+4k+1=0(k<0)

解得；k=2±√3或k=-2±√3

综上所述，k的值为，k=2±√3或k=-2±√3

Answer 3

你是高一？？？？？？
1.y=b和X^2+y^2=4联立得
S^2=b^2*(4-b^2)用不等式算Smax=4
2.把k作为未知数两方程联立再算就好了。。。

追问

第二问不懂

追答

y=kx+2和 X^2+y^2=4联立啊，然后算面积就能算出来了。。。你不是高一吧。。。这是解析几何的东西呀。。。。

Answer 4

我靠 还没学呢

Answer 5

.....

Answer 6

为什么我算的答案是S=2，K=1呢？正确答案是什么？