Question

已知函数f(x)=x^3-ax-1.(2)是否存在实数a使f(x)在(-1,1)上单调递减，若存在求出a的范围，若不存在说明...

已知函数f(x)=x^3-ax-1.(2)是否存在实数a使f(x)在(-1,1)上单调递减，若存在求出a的范围，若不存在说明理由。

Answer 1

f'(x)=3x²-a
f(x)在(-1，1)上减，则f'(x)≤0在[-1，1]恒成立。
即a≥3x²，x∈[-1，1]
从而 a≥(3x²)max，x∈[-1，1]
即a≥3
a的范围：[3，∞)

Answer 2

f'(x)=3x^2-a
如果a≤0，f'(x)≥0，f(x)在R上单调递增；
如果a＞0，则f‘(x) = 3(x+√a/√3)(x-√a/√3)
当x∈(-√a/√3，√a/√3）时单调减
(-√a/√3，√a/√3）包含（-1，1)
-√a/√3≤-1，并且√a/√3≥1

Answer 3

f'(x)=3x^2-a≤0在（-1,1）上恒成立，所以a≥3x^2恒成立，即大于等于右边最大值,所以a≥3

Answer 4

存在。f(x)的导函数为f'(x)=3x^2-a令f'(x)<0其解集即为f(x)的单调递减区间，只要（-1,1）在这个区间就可以了。最后求出的a的范围为a>=3^（1/2)或a<=-3^(1/2)

Answer 5

f'(x)<0,3x^2<a,a>=3