Question

如图,抛物线与x轴交于A(-2,0)B(4,0),与y轴交于C(0,8)求(1)抛物线解析式和顶点D的

如图,已知抛物线与X轴交于点A(-2,0),B(4,0),与Y轴交于点C(0,8).(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交X轴于点E.在线段OB的垂直平分线上是否存在点P,使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点B作X轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点。试探究:抛物线向上最多可平移多少各单位长度？向下最多平移多少个单位长度？

Answer 1

解：（1）抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），
∵抛物线与y轴交于点C（0，8），
∴-8a=8，解得a=-1，
∴y=-x 2 +2x+8；
（2）∵y=-x 2 +2x+8，
∴顶点坐标为（1，9），
设过CD的解析式为y=kx+b，
∴b=8，k+8=9，
解得k=1，
∴过CD的解析式为y=x+8；
（3）易得点E的坐标为（-8，0），F（4，12），
①若抛物线向上平移，可设解析式为y=-x 2 +2x+8+m（m＞0），
当x=-8时，y=-72+m，
当x=4时，y=m，
∴-72+m≤0，m≤72，
∴0＜m≤72；
②若抛物线向下平移，可设解析式为y=-x 2 +2x+8-m（m＞0），
∴ ，
∴x 2 -x+m=0，
∴△=1-4m≥0，
解得m≤1/4 ，
∴抛物线向上最多可平移72个单位长度；向下最多可平移 1/4个单位长度．