Question

在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A1B1C

(1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形；

(2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3；

(3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当＝ °时，EP的长度最大，最大值为
图在这

Answer 1

解：（1）
∵AB∥CB′，
∴∠B=∠BC B′=30°，
∴∠A′CD=60°，
又∵∠A′=60∠，
∴∠A′CD=∠A′=∠A′DC=60°，
∴△A′CD是等边三角形；
（2）
在Rt△ACB中∠ABC=30°
∴AC:BC=1:根号3
又∵旋转角度为θ
∴∠ACA'=∠BCB'
又∵将△ABC旋转到△A1B1C
∴AC=A'C CB=CB'
∴AC:BC=A'C:B'C=1:根号3
∴△ACA'相似与△BCB'
∴S1∶S2＝1的平方：根号3的平方=1：3
（3）
120° 2分之3a
原创哦~！！！！

Answer 2

(1)、AB∥CB1，∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，所以∠DCB1＝30°。在Rt△A1B1中，CD=DB1=A1D=A1C,所以△A1CD是等边三角形

(2)、S1=1/2AC*A1Csinα ，S2=1/2BC*B1Csinα ，BC =B1C=√3 AC =√3 A1C，所以S1:S2=1:3

（3）、因由题意可得，A1B1的中点为P是在以C点为圆心半径为a的圆上运动，连接CP，在△CEP中，CE+CP>EP，而CE=a/2、CP=a，所以只有当EP=CE+CP，即C、E、P在一条直线上时，此时EP=3a/2为最大值，此时旋转的角度是120°

Answer 3

因由题意可得，A1B1的中点为P是在以C点为圆心半径为a的圆上运动，连接CP，在△CEP中，CE+CP>EP，而CE=a/2、CP=a，所以只有当EP=CE+CP，即C、E、P在一条直线上时，此时EP=3a/2为最大值，此时旋转的角度是120°

Answer 4

(1)、AB∥CB1，∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，所以∠DCB1＝30°。在Rt△A1B1中，CD=DB1=A1D=A1C,所以△A1CD是等边三角形

(2)、S1=1/2AC*A1Csinα ，S2=1/2BC*B1Csinα ，BC =B1C=√3 AC =√3 A1C，所以S1:S2=1:3

（3）、因由题意可得，A1B1的中点为P是在以C点为圆心半径为a的圆上运动，连接CP，在△CEP中，CE+CP>EP，而CE=a/2、CP=a，所以只有当EP=CE+CP，即C、E、P在一条直线上时，此时EP=3a/2为最大值，此时旋转的角度是120°

Answer 5

第三问：解：如图2，连接CP，当△ABC旋转到E、C、P三点共线时，EP最长，
此时θ=∠ACA1=120°，
∵∠B′=30°，∠A′CB′=90°，
∴A′C=AC=12A′B′=a，
∵AC中点为E，A′B′中点为P，∠A′CB′=90°
∴CP=12A′B′=a，EC=12a，
∴EP=EC+CP=12a+a=32a．
故答案为：120，32a．