Question

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线 y=1/4x^2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线 y=1/4x^2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）.对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

Answer 1

直线y=kx+b过点F（0，1），所以b=1
直线与抛物线相交于M、N两点，所以kx+1=1/4*(x^2)为x1，x2必需满足的方程，于是知
x1+x2=4k
x2-x1=4(（1+k^2）^(1/2))
所以MN中点坐标为（2k，2k+1），以MN为直径的动圆直径为4（1+k^2），即
动圆圆心为（2k，2k+1），半径为2（1+k^2），因而知道动圆半径与动圆圆心坐标的变化不成同一比例（半径添加快于圆心挪动，因而k添加时使得动圆将原来的切点包括在新圆的外部），因而不存在定直线m与动圆恒相切
复杂推理，当k为无量大时，MN退化为原点（0，0），动圆半径为0，因而m必需过原点；
当k=0时，动圆圆心为（0，1），半径为2；
当k=1时，动圆圆心为（2，3），半径为4；关于k=0，k=1的两种状况，与动圆都相切的直线只有两条x=-2，y=-1，且均不经过原点，因而反证得m不存在

追问

这个答案网上已经有回答了，我也看过了，可觉得不对，所以抱歉了......我已经找到正确答案了。谢谢。

Answer 2

如果F是焦点，那么这条直线应该是抛物线的准线，但此题的F不是焦点，所以作如下证明
证：如果MN平行X轴，那么MN=4，以MN为直径的圆的水平方向的切线：y=-1或y=3
如果MN转过一个角度，比如转到45度，那么此时的MN=8 中点（圆心）位于（2,3），切线仍为Y=-1
当K为任意值时：MN：y=kx+1 y=0.25x^2 x^2-4kx-4=0 MN^2=(x1-x2)^2+(Y1-Y2)^2
=(1+K^2)(X1-X2)^2=(1+k^2)(16k^2+16) MN=4(k^2+1) 以MN为直径的圆 R=2k^2+2
MN 中点 x中=（x1+x2）/2=4k/2=2k y中=kX中+1=2k^2+1
此时该圆的水平切线方程为：y=y中-R=-1
所以存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切，切线方程为 y=-1