Question

对于在区间对[m，n]上有意义的两个函数f(x)和g(x)，对任意x属于[m，n]，均有|f(x)-g(x)|≤1那么我们称f(x)

那么我们称f(x)和g(x)在[a,b]上是接近的，y=x^2-3x+2与y=2x+3在[a,b]上是接近的否则称非接近，现在有二个函数f1（x）=㏒10（x-3a）与f2（x）=1／x-a（a＞0，a≠1）给定区间[a+2，a+3]，（1）若f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上有意义，求a的取值范围（2）f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否接近

Answer 1

（1）要使f1（x）与f2（x）有意义，则有 {x-3a＞0x-a＞0a＞0且a≠1
要使f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，等价于： {a+2＞3aa＞0且a≠1
所以0＜a＜1．
（2）f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的， ⇔|f1(x)-f(x2)|≤1⇔|loga(x-3a)-loga1x-a|≤1⇔|loga[(x-3a)(x-a)]|≤1⇔a≤(x-2a)2-a2≤1a对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．
设h（x）=（x-2a）2-a2，x∈[a+2，a+3]，
且其对称轴x=2a＜2在区间[a+2，a+3]的左边， ⇔{a≤(h(x))min1a≤(h(x))max⇔{a≤h(a+2)1a≥h(a+3)⇔{a≤4-4a1a≥9-6a⇔{a≤45a≤9-5712或a≥9+5712⇔0＜a≤9-5712，
所以，当 0＜a≤9-5712时，f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的；
当 9-5712＜a＜1时，f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是非接近的．

Answer 2

解：（1）函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上有意义，
必须满足
a+2-3a＞0a+2-a＞00＜a，a≠1
⇒0＜a＜1
（2）假设存在实数a，使得函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是“友好”的，
则|f（x）-g（x）|=|loga（x2-4ax+3a2）|⇒|loga（x2-4ax+3a2）|≤1
即-1≤loga（x2-4ax+3a2）≤1（*）
因为a∈（0，1）⇒2a∈（0，2），而[a+2，a+3]在x=2a的右侧，
所以函数g（x）=loga（x2-4ax+3a2）在区间[a+2，a+3]上为减函数，从而
[g(x)]max=g(a+2)=loga(4-4a)[g(x)]min=g(a+3)=loga(9-6a)
于是不等式（*）成立的充要条件是
loga(4-4a)≤1loga(9-6a)≥-10＜a＜1
⇒0＜a≤
9-57
12
因此，当0＜a≤
9-57
12
时，函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是“友好”的；当1＞a＞
9-57
12 时，函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是不“友好”的．