Question

△ABC中，角A,B,C所对边为a,b,c满足（a+c)/b=(sinA-sinB)/(sinA-sinC),求角C，并求（a+b)/c范围(详解）

Answer 1

(sinA-sinB)/(sinA-sinC)=(a-b)/(a-c)(正弦定理）
则（a+c)(a-c)=b(a-b)
a^2-c^2+b^2=ab=2ab*cosC(余弦定理）
2cosC=1 C=60度
则A+B=120度
(a+b)/c=(sinA+sinB)/sinC
=(sinA+sin(120-A))/sinC
=2/根号3*（sinA+2/根号3cosA+1/2sinA)
=2/根号3*（3/2sinA+2/根号3cosA)
=2*根号3/根号3(根号3/2sinA+1/2cosA)
=2sin(30+A)
1<2sin（30+A）《2（A>0)
则1<(a+b)/c《2

Answer 2

（a+c)/b=(sinA-sinB)/(sinA-sinC)据正玄定理
（a+c)/b=(a-b)/(a-c)化简c*c=a*a+b*b-ab 余弦定理c*c=a*a+b*b-2abcosc
所以2cosc=1 c=60
法1 （a+b)/c=（sina+sinb）/sin60
即求sina+sinb取值范围利用和差化积（sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] ）
sina+sinb=2sin60cos（a-b)/2（a+b=120 -120<a-b<120 -60<(a-b)/2<60 ）
显然a=b最大 (a-b)/2=60或-60时最小
取值范围 1<（a+b)/c<=2