Question

求非齐次线性方程组：2x1-x2+4x3-3x4=-4;x1+x3-x4=-3;3x1+x2+x3=1;7x1+7x3-3x4=3.通解

它的等价方程组为：x1=-x3+3;x2=2x3-8;x4=6,求得通解为：x=k(-1,2,1,0)^T+(3,-8,0,6)^T.想问下这个通解是如何得来的？

Answer 1

这里的自由未知量是 x3
取x3=0, 代入等价方程组得一个特解: (3,-8,0,6)^T

对应的齐次线性方程组的等价方程为
x1=-x3;x2=2x3;x4=0
即令等式右边的常数都为0得到的
取x3=1 得基础解系: (-1,2,1,0)^T

所以根据线性方程组解的结构定理, 方程组的通解为 k(-1,2,1,0)^T+(3,-8,0,6)^T
即 特解 + 导出组的基础解系的线性组合

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Answer 2

先写出方程组的矩阵形式，再将其化简为阶梯矩阵，即得通解

追问

x=k(-1,2,1,0)^T+(3,-8,0,6)^T,这就是答案，我想问的是这个(-1,2,1,0)^T和这个(3,-8,0,6)^T如何得到的？