Question

为什么矩阵的秩等于非零特征值的个数？

Answer 1

前提条件是A可对角化

此时 存在可逆矩阵P满足 P^-1AP = 对角矩阵

r(A) = r(P^-1AP) = r(对角矩阵) = 非零特征值的个数

或者

应该是可对角化的矩阵的秩等于非零特征值的个数，矩阵与其对角阵秩必然相等，对角阵的秩为非零特征值的个数。

扩展资料

矩阵的秩的定理：

若A~B，则R(A)= R(B)。

根据这一定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换成行阶梯形矩阵，易见该矩阵最高阶非零子式的阶数。显然行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。这就给出求矩阵秩的方法。

如果向量组：

（I）α1，α2，...，αsα1，α2，...，αs可以由。

（II）β1，β2，...，βtβ1，β2，...，βt线性表出，则r(II)≥r(I)r(II)≥r(I)。

解释为：能表出其他向量组，则其他向量组必然在自己的范围内，如果II的秩没有I大，则撑不起I张起的空间。这是很酷的一个定理。

r(A) = A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）= A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）。

初等变换的向量组的秩不变。