为什么矩阵的秩等于非零特征值的个数?

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2023-07-02 · 说的都是干货,快来关注
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前提条件是A可对角化

此时 存在可逆矩阵P满足 P^-1AP = 对角矩阵

r(A) = r(P^-1AP) = r(对角矩阵) = 非零特征值的个数

或者

应该是可对角化的矩阵的秩等于非零特征值的个数,矩阵与其对角阵秩必然相等,对角阵的秩为非零特征值的个数。

扩展资料

矩阵的秩的定理:

若A~B,则R(A)= R(B)。

根据这一定理,为求矩阵的秩,只要把矩阵用初等行变换成行阶梯形矩阵,易见该矩阵最高阶非零子式的阶数。显然行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。这就给出求矩阵秩的方法。

如果向量组:

(I)α1,α2,...,αsα1,α2,...,αs可以由。

(II)β1,β2,...,βtβ1,β2,...,βt线性表出,则r(II)≥r(I)r(II)≥r(I)。

解释为:能表出其他向量组,则其他向量组必然在自己的范围内,如果II的秩没有I大,则撑不起I张起的空间。这是很酷的一个定理。

r(A) = A的行秩(矩阵A的行向量组的秩)= A的列秩(矩阵A的列向量组的秩)。

初等变换的向量组的秩不变。

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