Question

求大神解答高中数学题。

Answer 1

解：(an-1,an)点在曲线y=(2x+m)/(x+4) (x≠-4)上，故有
an=[2a(n-1)+m]/[a(n-1)+4)]
（1）m=0时，an=2a(n-1)/[a(n-1)+4)] ①
则an+2=[4a(n-1)+8]/[a(n-1)+4] ②
①/②得
[a(n)+2]/a(n)=2[a(n-1)+2]/a(n-1)
于是b(n)=[a(n)+2]/a(n)=2b(n-1)，b(n)为首项为b(1)=[a(1)+2]/a(1)=(2+2)/2=2，公比为2的等比数列。于是
b(n)=[a(n)+2]/a(n)=2*(1-2^n)/(1-2)=2(2^n-1)=1+2/a(n)，解得
a(n)=2/[2^(n+1)-3]
（2）m=-1时，a(n)=[2a(n-1)-1]/[a(n-1)+4)]
a(n)+1=[3a(n-1)+3]/[a(n-1)+4)]
则1/[a(n)+1]=[a(n-1)+1+3)]/[3a(n-1)+3]=1/3+1/[a(n-1)+1]
故数量1/[a(n)+1]是公差为1/3的等差数列。
（3）m>-1且m≠0时
特征方程为：x=(2x+m)/(x+4)，即x^2+2x-m=0
解得特征根为两个：x1=-1+√(1+m)，x2=-1-√(1+m)
且显然有m=x1^2+2x1=x2^2+2x2
于是：an=[2a(n-1)+m]/[a(n-1)+4)]
an-x1=[2a(n-1)+m]/[a(n-1)+4)]-x1=[(2-x1)a(n-1)+m-4x1]/[a(n-1)+4)]=[(2-x1)a(n-1)+x1^2+2x1-4x1]/[a(n-1)+4)]={(2-x1)[a(n-1)-x1]}/[a(n-1)+4)] ③
an-x2=[2a(n-1)+m]/[a(n-1)+4)]-x2=[(2-x2)a(n-1)+m-4x2]/[a(n-1)+4)]=[(2-x2)a(n-1)+x2^2+2x2-4x2]/[a(n-1)+4)]={(2-x2)[a(n-1)-x2]}/[a(n-1)+4)] ④
③/④得
(an-x1)/(an-x2)=(2-x1)/(2-x2)*[a(n-1)-x1]/[a(n-1)-x2]
令cn=(an-x1)/(an-x2)，则有
cn=(2-x1)/(2-x2)*c(n-1)
于是数列{cn}为首项为c1=(a1-x1)/(a1-x2)=(2-x1)/(2-x2)，公比为(2-x1)/(2-x2)的等比数列。于是
cn=(an-x1)/(an-x2)=(2-x1)/(2-x2)*[(2-x1)/(2-x2)]^(n-1)=[(2-x1)/(2-x2)]^n
解得an=x2+(x2-x1)/{[(2-x1)/(2-x2)]^n-1}
将x1=-1+√(1+m)，x2=-1-√(1+m)代入上式即可。

Answer 2

(an-1,an) 在y=(2x+m)/(x+4)
1
m=0， an=2an-1/(an-1+4)
1/an=1/2+2/an-1
1/an +1/ 2=2/an-1 +1
1/an+1/2=2*(1/an-1+1/2)
设bn=1/an+1/2,bn/bn-1=2=q
b1=1/a1+1/2=1 bn=2^(n-1) 1/an+1/2=2^(n-1) an=1/[2^(n-1)-1/2 ]

2
m=-1
an=(2an-1 -1)/(an-1+4)
an +1=(2an-1-1+an-1+4)/(an-1+4)
an +1=(3an-1+3)/(an-1+4)
1/an+1=1/(an-1+1)+1/3
bn=1/(an+1) bn=bn-1 +1/3
b1=1/3 bn=1/3+(1/3)(n-1)=(1/3)n

3
an=(2an-1+m)/(an-1 +4)
an+k=[(k+2)an-1+(4k+m)] /[an-1+4]
(4k+m)/(k+2)=k
k^2-2k+1=m+1
k=1+√(m+1)
an+1+√(m+1)=(√(m+1)+3)*(an-1+(1+√(m+1)/(an-1+4)
1/(an+1+√(m+1))=[3-√(m+1)]/(an-1 +1+√(m+1)) +1/[3+√(m+1)]
1/[an+1+√(m+1)]-h=3-√(m+1)*[1/(an-1+1+√(m+1) -h]
- [3-√(m+1)]h +h=1/(3+√(m+1)
h=1/(√(m+1)-2)(3+√(m+1))=1/[m+√(m+1)-5]
设bn=1/[an+1+√(m+1)] -1/[m+√(m+1)-5]
bn=(3-√(m+1))bn-1
b1=1/[3+√(m+1)]
bn=1/[3+√(m+1)] *(3-√(m+1))^(n-1)
1/[an+1+√(m+1)]=[3-√(m+1)]^(n-1)/[3+√(m+1)] +1/[m+√(m+1)-5]
an=1/[(3-√m+1)^(n-1)/(3+√m+1) +1/(m-5+√m+1)] -1-√(m+1)

Answer 3

把X换成an-1把y换成an